§ 16. Косинус и синус острого угла

Определения и обозначения

Синус острого угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе; обозначают его sin α. Например, если напротив α лежит катет длины a, а гипотенуза равна c, то sin α = a / c. По этому отношению можно сравнивать угол и стороны треугольника, даже если сами стороны имеют разные размеры.

Косинус острого угла α — отношение прилежащего к нему катета к гипотенузе; его обозначают cos α. Если прилежащий катет имеет длину b, а гипотенуза — c, то cos α = b / c. Это определение помогает выразить связь между выбранным углом и стороной, которая образует его вместе с гипотенузой.

Противолежащий и прилежащий катеты называют относительно выбранного острого угла. Прилежащий катет образует этот угол с гипотенузой, а противолежащий находится напротив угла. Поэтому один и тот же катет может быть прилежащим к одному острому углу и противолежащим к другому: названия меняются вместе с выбранным углом.

Как это устроено

Представь два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом α. У них равны и прямые углы, значит, треугольники подобны по двум углам. При подобии соответствующие стороны отличаются в одинаковое число раз, поэтому отношение катета к гипотенузе не меняется. Так объясняется, почему sin α и cos α зависят только от величины α, а не от размеров треугольника.

Чтобы составить отношение, сначала выбери острый угол и отметь его на чертеже. Найди гипотенузу: это сторона напротив прямого угла. Из двух оставшихся сторон катет, который касается выбранного угла, будет прилежащим, а другой — противолежащим; для синуса раздели противолежащий катет на гипотенузу, для косинуса — прилежащий на гипотенузу. Такая проверка не даёт перепутать стороны.

Обозначим острые углы прямоугольного треугольника через α и β. Их сумма равна 90°, поскольку сумма углов треугольника равна 180°, а один угол прямой. Катет, противолежащий α, одновременно прилежит к β, а гипотенуза остаётся той же. Поэтому отношение для sin α совпадает с отношением для cos β: sin α = cos β.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, гипотенуза — c, а угол α выбран так, что sin α = a / c и cos α = b / c. По теореме Пифагора a² + b² = c². Разделим обе части на c²: a² / c² + b² / c² = 1; каждое отношение квадратов сторон — квадрат соответствующего отношения. Получаем sin² α + cos² α = 1.

Длины катетов и гипотенузы положительны, поэтому отношения, задающие синус и косинус, тоже положительны. Каждый катет короче гипотенузы: гипотенуза является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Значит, отношение катета к гипотенузе меньше единицы, и для любого острого угла 0 < sin α < 1 и 0 < cos α < 1.

Синус и косинус острого угла

Пользуйся таблицей после того, как выбрал угол: это помогает определить нужный катет и не перепутать числитель. Если дан второй острый угол, сначала проверь, что углы в сумме дают 90°. Последняя строка позволяет найти одно значение, если известно другое.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а катет, противолежащий углу α, равен 6. Найдите sin α.

1. Проверяем, какая сторона дана напротив α: это катет длины 6, значит, именно он входит в определение синуса.
2. Записываем отношение: sin α = противолежащий катет / гипотенуза.
3. Подставляем данные: sin α = 6 / 10 = 3 / 5.

Ответ: sin α = 3 / 5.

Задача 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13, а катет, прилежащий к углу β, равен 5. Найдите cos β и синус второго острого угла.

1. Для cos β нужны прилежащий катет и гипотенуза, поэтому cos β = 5 / 13.
2. Обозначим второй острый угол через α. Он дополняет β до 90°.
3. По свойству дополнительных углов sin α = cos β, следовательно, sin α = 5 / 13.

Ответ: cos β = 5 / 13; синус второго острого угла равен 5 / 13.

Задача 3. Известно, что sin α = 3 / 5, где α — острый угол. Найдите cos α и объясните выбор знака.

1. Используем основное равенство: sin² α + cos² α = 1.
2. Подставляем известный синус: cos² α = 1 − (3 / 5)² = 1 − 9 / 25 = 16 / 25.
3. Извлекаем корень: cos α = ±4 / 5. Так как α острый, его косинус положителен, поэтому выбираем 4 / 5.

Ответ: cos α = 4 / 5.

Типичные ошибки

Путать противолежащий и прилежащий катеты легко, если не указать, относительно какого угла их называют. При этом один катет в том же треугольнике может играть обе роли для разных углов. Перед вычислением отметь угол и найди гипотенузу; катет рядом с углом — прилежащий, другой — противолежащий.

Иногда синус ошибочно записывают как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Эту ошибку допускают, когда запоминают только слова «катет и гипотенуза», не проверяя, какой именно катет нужен. Сверься с определением: противолежащий катет относится к синусу, а прилежащий — к косинусу.

Неверно считать, что синус и косинус изменятся, если тот же треугольник увеличить. Длины сторон вырастут, но все соответствующие стороны изменятся в одинаковое число раз, поэтому отношения сохранятся. Проверка: при подобии раздели новую длину катета на новую длину гипотенузы — общий множитель сократится.

При извлечении корня из cos² α = 1 − sin² α можно ошибочно оставить отрицательное значение. Знак «плюс или минус» появляется при решении уравнения с квадратом, но косинус острого угла положителен. Проверь, что угол острый, и выбери положительный корень.

Связь с другими темами

Для работы с синусом и косинусом нужно знать, как устроен прямоугольный треугольник, отличать катеты от гипотенузы и применять теорему Пифагора. Также пригодится подобие: оно объясняет, почему отношения сторон одинаковы у треугольников с равными углами.

Синус и косинус помогают решать прямоугольные треугольники: по известному углу и стороне можно находить другие стороны, а отношения сторон помогают работать с углами. Эта тема становится основой для дальнейшего изучения тригонометрических соотношений и их применения в геометрических задачах.

Что запомнить

• sin α — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• cos α — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Синус и косинус определяются только величиной угла.
• Для острых углов синус и косинус положительны и меньше единицы.
• Для дополнительных острых углов sin α = cos(90° − α).
• Для любого острого угла sin² α + cos² α = 1.