65*. Окружность Эйлера

Определения и обозначения

Окружность Эйлера, или девятиточечная окружность, — окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков от вершин до ортоцентра. Это позволяет объединить в одной фигуре несколько важных точек треугольника.

Девять точек окружности Эйлера — три середины сторон, три основания высот и три середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром. Такое название помогает сразу вспомнить, какие точки нужно искать при построении.

Центр окружности Эйлера — середина отрезка, соединяющего центр описанной окружности треугольника с его ортоцентром. Обозначим центр описанной окружности через O, ортоцентр через H, а центр окружности Эйлера через N.

Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности треугольника. Если радиус описанной окружности равен R, то радиус девятиточечной окружности равен R/2; это главное количественное соотношение темы.

Как это устроено

Начнём с середин сторон. Пусть M — середина стороны BC, а N — середина OH. Центр O равноудалён от вершин, поэтому OA = OB = OC = R; свойства средних линий и отрезков дают OM и другие связи с серединой. В результате расстояние от N до каждой середины стороны оказывается равным R/2.

Теперь рассмотрим середины отрезков от вершин до ортоцентра. Если P — середина AH, то отрезок PM соединяет середины двух сторон треугольника AHC, поэтому он параллелен HC и равен половине HC. Аналогичные рассуждения для других вершин показывают, что все три такие середины находятся от N на расстоянии R/2.

Почему к этим точкам добавляются основания высот? Высота перпендикулярна стороне, на которую опущена, поэтому у основания высоты возникают прямоугольные треугольники. Сравнение их гипотенуз и отрезков, связанных с центром описанной окружности, показывает, что расстояние от каждого основания до N также равно R/2.

Итак, девять точек равноудалены от одной точки N и лежат на окружности радиуса R/2. Точка N была выбрана как середина OH, поэтому центр девятиточечной окружности расположен ровно между центром описанной окружности и ортоцентром. Следовательно, её радиус вдвое меньше радиуса описанной окружности.

Основные свойства окружности Эйлера

Таблицу удобно использовать как краткий план решения. Сначала определите, какие из девяти точек уже отмечены, затем найдите O и H и соедините их. После этого радиус можно получить сразу по формуле r₉ = R/2.

Разбор задач

Задача 1

Условие. В треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка H — ортоцентр. Как построить центр окружности Эйлера?

1. Соедините точки O и H отрезком OH. Эти точки уже заданы и определяют положение центра девятиточечной окружности.
2. Постройте середину отрезка OH с помощью серединного перпендикуляра или измерением равных частей. Обозначьте её N.
3. Проведите окружность с центром N через середину любой стороны треугольника. По свойству окружности Эйлера остальные восемь точек окажутся на ней.

Ответ: центр окружности Эйлера — середина отрезка OH.

Задача 2

Условие. Радиус описанной окружности треугольника равен 10 см. Найдите радиус окружности Эйлера.

1. Обозначьте радиус описанной окружности через R. По свойству девятиточечной окружности её радиус равен R/2.
2. Подставьте значение: r₉ = 10/2 = 5 см. Деление на два нужно потому, что центр окружности Эйлера является серединой отрезка, связанного с описанной окружностью.

Ответ: 5 см.

Задача 3

Условие. В треугольнике ABC проведены высоты и отмечены середины сторон. Объясните, почему основания высот принадлежат той же окружности, что и середины сторон.

1. Обозначьте основания высот через D, E и F, а ортоцентр через H. Для середин сторон уже установлено, что их расстояние до N равно R/2.
2. Рассмотрите, например, основание D высоты AD. Так как AD перпендикулярна BC, треугольники, образованные высотой и радиусами, являются прямоугольными; теорема о середине и равенство OA = OB = OC дают ND = R/2.
3. Точно так же получаются NE = R/2 и NF = R/2. Значит, D, E и F лежат на окружности с центром N и радиусом R/2.

Ответ: основания всех трёх высот принадлежат окружности Эйлера, потому что равноудалены от её центра N.

Типичные ошибки

Учитывать только середины сторон. Так поступают, потому что именно эти точки проще всего увидеть по средней линии. Проверьте себя: у окружности должны быть ещё основания высот и середины отрезков от вершин до H.

Называть центром O или H. Ошибка возникает из-за смешения двух известных центров треугольника. Проверьте построение: центр окружности Эйлера должен делить OH пополам и обычно не совпадает ни с O, ни с H.

Принимать радиус окружности Эйлера за R. Обычно забывают про середину отрезка, из-за чего не делят радиус пополам. Всегда запишите формулу r₉ = R/2 перед вычислением.

Считать девять точек всегда различными. В специальных треугольниках некоторые точки могут совпасть, поэтому число девять означает набор точек с учётом их типов. Для проверки рассмотрите равносторонний треугольник.

Связь с другими темами

До изучения окружности Эйлера нужны понятия высоты, ортоцентра и описанной окружности. В доказательствах используются серединный перпендикуляр, средняя линия треугольника и свойства прямоугольного треугольника. Тема связывает высоты с окружностями и помогает решать задачи на построение, расстояния и доказательство равноудалённости точек.

Что запомнить

• Окружность Эйлера также называют девятиточечной.
• На ней лежат середины сторон треугольника.
• На ней лежат основания высот треугольника.
• На ней лежат середины отрезков от вершин до ортоцентра.
• Центр окружности Эйлера — середина отрезка между центром описанной окружности и ортоцентром.
• Радиус окружности Эйлера вдвое меньше радиуса описанной окружности.