64*. Свойства ортоцентра треугольника

Определения и обозначения

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, на которой лежит противоположная сторона. Он может пересекать саму сторону или её продолжение; точку пересечения называют основанием высоты. Высоты нужны, чтобы находить расстояние от вершины до противоположной прямой и исследовать перпендикулярность в треугольнике.

Ортоцентр — общая точка трёх высот треугольника. Обычно его обозначают буквой H. Это не просто пересечение любых двух высот: для такого названия нужно установить, что третья высота тоже проходит через H.

Основание высоты — точка, в которой высота пересекает противоположную сторону или её продолжение. Например, если высота из A пересекает прямую BC в точке D, то D — основание этой высоты. Оно может оказаться за пределами отрезка BC, поэтому при построениях следят за продолжением стороны.

Остроугольный треугольник имеет три угла меньше 90°, прямоугольный — один угол 90°, а тупоугольный — один угол больше 90°. Это различие важно, потому что оно определяет, где окажется ортоцентр: внутри, в вершине или вне треугольника.

Как это устроено

Чтобы обосновать существование ортоцентра, достаточно взять две высоты и обозначить их точку пересечения H. Например, пусть BH ⟂ AC и CH ⟂ AB. Теперь нужно не предполагать, а проверить, что AH ⟂ BC. Угол между BH и CH связан с углом A, поскольку стороны этих углов соответственно перпендикулярны; из суммы углов треугольника следует нужная перпендикулярность AH и BC. Значит, третья высота проходит через H, и все три высоты пересекаются в одной точке.

Пусть H — ортоцентр ABC. В четырёхугольнике ABHC углы при B и C прямые: BH ⟂ AC, а CH ⟂ AB. Поэтому сумма углов при B и C равна 180°, а оставшиеся углы A и BHC также в сумме дают 180°. Получаем ∠BHC = 180° − ∠A. Аналогично ∠AHC = 180° − ∠B и ∠AHB = 180° − ∠C. Если говорят о меньшем угле между прямыми высот, его величина равна соответствующему углу исходного треугольника.

Положение H следует из того, куда направлены перпендикуляры к сторонам. В остроугольном треугольнике высоты пересекаются внутри: проекции вершин оказываются на противоположных сторонах, и перпендикуляры сходятся в области треугольника. В прямоугольном треугольнике два катета уже являются высотами, поэтому они пересекаются в вершине прямого угла; это и есть H. В тупоугольном треугольнике высоты из острых вершин попадают на продолжения противоположных сторон, и их пересечение лежит вне треугольника.

Рассмотрим отражение H относительно стороны BC и обозначим образ H′. Отражение сохраняет углы и оставляет точки B и C на месте. Из перпендикулярности высот и связи углов при H следует, что углы четырёхугольника ABH′C, стоящие напротив друг друга, в сумме составляют 180°. По признаку вписанного четырёхугольника его вершины лежат на одной окружности. Поскольку A, B и C задают описанную окружность исходного треугольника, на ней лежит и H′.

Рассмотрим треугольник BHC. В нём прямая AB перпендикулярна HC, так как HC — часть высоты из C исходного треугольника. Аналогично AC ⟂ HB. Наконец, AH ⟂ BC, поскольку AH — высота исходного треугольника. Значит, прямые AB, AC и AH являются высотами треугольника BHC, и они пересекаются в точке A: исходная вершина становится его ортоцентром.

Положение и основные свойства ортоцентра

Сначала найдите строку, соответствующую условию задачи: вид треугольника, угол при ортоцентре или отражённую точку. Затем примените указанный в этой строке вывод. Для углов следите, спрашивают ли меньший угол между прямыми или угол BHC: это могут быть дополнительные углы.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC углы равны 50°, 60° и 70°. Найдите углы между высотами и определите положение ортоцентра. Удобно сначала соотнести каждый угол между высотами с противоположной ему вершиной. Так мы не перепутаем угол при H с меньшим углом между прямыми, содержащими высоты.

1. Все три угла меньше 90°, поэтому ABC — остроугольный треугольник. Ортоцентр H находится внутри него.
2. Для высот BH и CH используем связь ∠BHC = 180° − ∠A. Если ∠A = 50°, то ∠BHC = 130°.
3. Для высот AH и CH получаем ∠AHC = 180° − ∠B = 120°. Для высот AH и BH: ∠AHB = 180° − ∠C = 110°.
4. Если под углами между высотами понимают меньшие углы между соответствующими прямыми, берём дополнительные к найденным: 50°, 60° и 70°.

Ответ: углы при H равны 130°, 120° и 110° для пар высот BH и CH, AH и CH, AH и BH соответственно. Меньшие углы между прямыми высот равны 50°, 60° и 70°; H находится внутри треугольника.

Задача 2. Докажите, что точка H′, симметричная ортоцентру H относительно стороны BC, лежит на описанной окружности ABC. Отражение оставляет B и C неподвижными, поэтому достаточно связать углы четырёхугольника ABH′C с углами исходного треугольника. Используем, что отражение сохраняет величины углов, а высоты перпендикулярны сторонам.

1. Поскольку H — ортоцентр, BH ⟂ AC и CH ⟂ AB. Из свойства углов при ортоцентре следует ∠BHC = 180° − ∠A.
2. При отражении относительно BC угол, образованный лучами HB и HC, переходит в угол между H′B и H′C той же величины. Значит, ∠BH′C = 180° − ∠A.
3. В четырёхугольнике ABH′C противоположные углы ∠BAC и ∠BH′C в сумме дают 180°. По признаку вписанного четырёхугольника A, B, H′ и C лежат на одной окружности.

Ответ: H′ лежит на описанной окружности ABC.

Задача 3. В остроугольном треугольнике ABC точка H — ортоцентр. Докажите, что A является ортоцентром треугольника BHC. Чтобы доказать это, найдём три прямые, проходящие из вершин нового треугольника перпендикулярно противоположным сторонам. Условия высот исходного треугольника дают все три нужные перпендикулярности.

1. Так как CH — высота исходного треугольника, CH ⟂ AB. Следовательно, в треугольнике BHC прямая AB — высота из вершины B.
2. Так как BH ⟂ AC, прямая AC — высота из вершины C треугольника BHC.
3. Прямая AH является высотой исходного треугольника, поэтому AH ⟂ BC. В новом треугольнике это высота из вершины H.

Ответ: все три высоты треугольника BHC проходят через A, значит, A — его ортоцентр.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что ортоцентр всегда находится внутри треугольника. Так рассуждают, вспоминая только остроугольный случай. Перед ответом проверьте углы: у прямоугольного треугольника H — вершина прямого угла, а у тупоугольного H расположен вне треугольника.

Ошибка: назвать пересечение двух высот ортоцентром, не проверив третью. Две высоты действительно задают точку пересечения, но определение ортоцентра требует общей точки всех трёх высот. Проверьте, что прямая из третьей вершины перпендикулярна противоположной стороне и проходит через найденную точку.

Ошибка: в прямоугольном треугольнике не заметить, что катет уже является высотой. Это случается, если высоту представляют только как отдельный отрезок внутри треугольника. Проверьте прямые углы: каждый катет перпендикулярен другому, противоположному катету, поэтому оба катета — высоты.

Ошибка: считать, что отражение H относительно стороны попадает на саму сторону. Отражение означает симметрию относительно прямой: точка обычно оказывается по другую сторону от неё, на таком же расстоянии. Чтобы проверить результат, используйте доказательство через углы и признак вписанного четырёхугольника: образ H лежит на описанной окружности, а не обязательно на стороне.

Связь с другими темами

Для изучения ортоцентра нужны определение высоты, свойства перпендикулярных прямых и сумма углов треугольника. При доказательстве того, что отражённая точка лежит на окружности, используются вписанные углы и признак вписанного четырёхугольника. Эти приёмы пригодятся в задачах, где одновременно встречаются треугольники, окружности и специальные точки треугольника.

Что запомнить

• Три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке.
• Точка пересечения высот называется ортоцентром.
• В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри.
• В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.
• В тупоугольном треугольнике ортоцентр находится вне треугольника.
• Угол при ортоцентре, образованный двумя высотами, дополнительный к углу третьей вершины: например, ∠BHC = 180° − ∠A.
• Отражение ортоцентра относительно стороны лежит на описанной окружности.