63. Теорема о пересечении высот треугольника

Определения и обозначения

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Это значит, что высота образует с этой прямой угол 90°, даже если перпендикуляр не попадает на саму сторону. Поэтому в тупоугольном треугольнике часть высоты может лежать за его пределами.

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника. Слово удобно использовать, когда нужно назвать одну общую точку, через которую проходят все три высоты. Положение ортоцентра зависит от вида треугольника, поэтому его не всегда следует искать внутри фигуры.

Точка пересечения высот — общая точка трёх высот, существование которой утверждает теорема. Теорема гарантирует, что такую точку можно найти у любого треугольника. Это помогает рассуждать о третьей высоте, даже если на чертеже проведены только две.

Как это устроено

Теорема утверждает: три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке. Иными словами, если две высоты уже пересеклись, третья не проходит где-то отдельно от них. Чтобы обосновать это, надо связать высоты с объектами, для которых пересечение в одной точке уже известно.

Пусть дан треугольник ABC. Через A проведём прямую, параллельную BC, через B — параллельную AC, а через C — параллельную AB. Эти три прямые образуют вспомогательный треугольник. Параллельность позволяет использовать свойства параллелограмма, чтобы увидеть, что A, B и C — середины сторон вспомогательного треугольника.

Рассмотрим высоту из A. Она перпендикулярна BC, а сторона вспомогательного треугольника, проходящая через A, параллельна BC. Значит, высота перпендикулярна и этой стороне, проходя через её середину A. Следовательно, она является серединным перпендикуляром; такой же вывод получается для высот из B и C.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Каждая высота исходного треугольника совпадает с одним из этих перпендикуляров, поэтому все три высоты проходят через ту же точку. Именно это и доказывает теорему, а не только пересечение двух высот.

Место ортоцентра зависит от углов треугольника. В остроугольном треугольнике высоты проходят внутри него и встречаются внутри. В тупоугольном некоторые высоты падают на продолжения сторон, поэтому их общая точка оказывается вне треугольника. В прямоугольном катеты сами являются высотами, и пересекаются они в вершине прямого угла.

Расположение ортоцентра

Сначала определи вид треугольника по его углам, затем найди соответствующую строку. Так можно проверить предполагаемое положение ортоцентра и не принять продолжение стороны за часть самого треугольника. Таблица подсказывает также, какие из высот особенно легко заметить на чертеже.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC проведены высоты из вершин A и B, пересекающиеся в точке H. Как проходит высота из вершины C? Нужно определить не её длину, а связь с уже найденной точкой H. Здесь достаточно применить теорему о пересечении высот.

1. Высоты из A и B пересекаются в H, следовательно, H — их общая точка.
2. Теорема утверждает, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке.
3. Значит, высота из C проходит через H и перпендикулярна прямой AB.

Ответ: высота из C проходит через точку H.

Задача 2

В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой. Найдите точку пересечения высот. Не нужно строить все три высоты отдельно: прямой угол сразу показывает, какие стороны уже перпендикулярны. Проверим это для обоих катетов.

1. AC перпендикулярна BC, поэтому AC — высота, проведённая из A к стороне BC.
2. BC перпендикулярна AC, поэтому BC — высота из B к стороне AC.
3. Эти высоты пересекаются в C; по теореме там проходит и высота из третьей вершины.

Ответ: точка пересечения высот совпадает с вершиной C.

Задача 3

Докажите, что три высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке, используя вспомогательный треугольник, стороны которого параллельны сторонам ABC. Идея состоит в том, чтобы представить исходные высоты как серединные перпендикуляры. Тогда пересечение трёх высот последует из свойства этих перпендикуляров.

1. Проведём через A прямую, параллельную BC, через B — параллельную AC, через C — параллельную AB. Они образуют вспомогательный треугольник.
2. По параллельности сторон и свойству параллелограмма A, B и C являются серединами соответствующих сторон вспомогательного треугольника.
3. Высота из каждой вершины проходит через середину стороны вспомогательного треугольника и перпендикулярна ей, потому что соответствующие стороны параллельны сторонам ABC.
4. Следовательно, все три высоты — серединные перпендикуляры к сторонам вспомогательного треугольника. Они пересекаются в одной точке, поэтому там же пересекаются высоты ABC.

Ответ: три высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что высота обязательно целиком лежит внутри треугольника. Так думают, потому что в остроугольном треугольнике все высоты действительно проходят внутри. Проверяй, перпендикулярна ли высота прямой противоположной стороны: попадание на её продолжение тоже подходит.

Высоту иногда путают с медианой или биссектрисой, поскольку все три отрезка начинаются в вершине. Но медиана делит противоположную сторону пополам, биссектриса делит угол, а высота образует с прямой стороны угол 90°. Чтобы проверить название, ищи именно признак перпендикулярности.

Неверно утверждать, что ортоцентр всегда находится внутри треугольника. Такое представление часто появляется из-за привычных чертежей остроугольных треугольников. Сначала определи вид треугольника: тупоугольному соответствует точка вне него, а прямоугольному — вершина прямого угла.

Ещё одна ошибка — показать пересечение двух высот и сразу считать доказанной теорему о трёх. Две прямые могут пересечься, но это само по себе ничего не говорит о третьей. Сошлись на доказательстве через вспомогательный треугольник и серединные перпендикуляры: оно объясняет, почему третья высота проходит через ту же точку.

Связь с другими темами

Для работы с высотами нужно знать перпендикулярные прямые и понимать, что высоту проводят к прямой, содержащей сторону. Если треугольник тупоугольный, пригодится представление о продолжении отрезка. Без этого легко ошибочно ограничить высоту самим треугольником.

Доказательство связывает высоты с серединными перпендикулярами и использует свойства параллельных прямых. Сначала параллельность помогает построить вспомогательный треугольник, затем перпендикулярность показывает, что высоты являются серединными перпендикулярами. Их известное свойство завершает доказательство.

Теорема пригодится в задачах, где требуется найти точку пересечения высот, определить положение ортоцентра или доказать прохождение третьей высоты через заданную точку. Она также помогает рассуждать о связи высот с углами и другими специальными точками треугольника.

Что запомнить

• Три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке.
• Точка пересечения высот называется ортоцентром.
• В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри.
• В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне.
• В прямоугольном треугольнике ортоцентр — вершина прямого угла.
• Высота перпендикулярна прямой, содержащей противоположную сторону.