"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Теорема о пересечении высот утверждает: три высоты любого треугольника или их продолжения проходят через одну точку. Эта точка называется ортоцентром. Теорема помогает находить особую точку треугольника, доказывать взаимное расположение прямых и разбирать задачи, даже если часть высот лежит за пределами фигуры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, на которой лежит противоположная сторона. Например, если из вершины A опущен перпендикуляр на прямую BC, его основание обозначают H, а отрезок AH называют высотой. Высоту проводят именно к прямой, поэтому её основание может оказаться на продолжении стороны.
Основание высоты — точка, в которой высота пересекает прямую, содержащую противоположную сторону. В обозначении AH высоты из A буква H указывает на основание. Это удобно, когда нужно показать, что AH перпендикулярна BC: записывают AH ⟂ BC.
Ортоцентр — общая точка трёх высот треугольника или их продолжений. Обычно его обозначают буквой O, хотя обозначение может быть любым. Это понятие нужно, чтобы назвать и исследовать особую точку, существование которой гарантирует теорема о пересечении высот.
У любого треугольника можно провести высоту из каждой вершины, но не всегда все три отрезка целиком лежат внутри фигуры. Если треугольник остроугольный, каждый его угол меньше 90°, поэтому перпендикуляры из вершин попадают на противоположные стороны. В тупоугольном треугольнике две высоты проводят к продолжениям сторон, потому что прямые углы должны образоваться с прямыми, содержащими эти стороны. Значит, при поиске высот нужно продлевать сторону, если перпендикуляр не попадает на сам отрезок.
Почему высоты пересекаются в одной точке? Проведём через каждую вершину прямую, параллельную противоположной стороне: через A — параллельную BC, через B — параллельную AC, через C — параллельную AB. Получится параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Высота из A перпендикулярна BC, а значит, перпендикулярна и параллельной ей стороне параллелограмма; так же устроены две остальные высоты.
В параллелограмме можно рассмотреть три прямые, проведённые из его вершин перпендикулярно соответствующим сторонам. Две такие прямые пересекаются, поскольку они не параллельны: они перпендикулярны двум разным направлениям сторон параллелограмма. Третья проходит через ту же точку, что следует из параллельности противоположных сторон и равенства отрезков между ними. Поэтому высоты исходного треугольника, являющиеся частями этих прямых, или их продолжения имеют общую точку.
Расположение общей точки зависит от вида треугольника. У остроугольного треугольника основания высот находятся на сторонах, поэтому ортоцентр внутри. У тупоугольного две высоты идут к продолжениям сторон, и их общая точка оказывается снаружи. В прямоугольном треугольнике катеты сами являются высотами друг к другу, поэтому пересекаются в вершине прямого угла; эта вершина и есть ортоцентр.
| Вид треугольника | Где находятся высоты | Где находится ортоцентр |
|---|---|---|
| Остроугольный | На сторонах треугольника | Внутри треугольника |
| Прямоугольный | Два катета являются высотами | В вершине прямого угла |
| Тупоугольный | Две высоты идут к продолжениям сторон | За пределами треугольника |
Сначала определите вид треугольника по его углам, затем по таблице проверьте, где искать ортоцентр. В тупоугольном случае продлите стороны, к которым нужно провести высоты. Таблица помогает не спутать положение точки и не принять выход высоты за пределы треугольника за ошибку.
Задача. В треугольнике ABC высоты из вершин A и B пересекаются в точке O. Докажите, что прямая CO перпендикулярна AB и, следовательно, является высотой из C. Здесь важно не предполагать заранее, что третья высота обязательно проходит через O: это и нужно обосновать. Воспользуемся параллельными прямыми и свойством перпендикулярности.
Проведём через A прямую, параллельную BC, а через B — прямую, параллельную AC. Пусть эти прямые пересекаются в точке D. Четырёхугольник ACBD является параллелограммом: AC параллельна BD, а CB параллельна AD. Поэтому можно применять свойства противоположных сторон параллелограмма.
Так как AO — высота, AO ⟂ BC. Сторона AD параллельна BC, значит, AO ⟂ AD. Следовательно, AO параллельна перпендикуляру, проведённому из D к AD. Точка O лежит на AO, поэтому направление прямой DO связано с высотами, построенными к параллельным сторонам параллелограмма.
Аналогично, BO ⟂ AC, а BD ∥ AC, поэтому BO ⟂ BD. Получается, что O — точка пересечения высот, проведённых к сторонам параллелограмма из вершин A и B. Рассмотрим теперь прямые через C и D, перпендикулярные соответственно AB и AB: поскольку AB — одна сторона параллелограмма, эти перпендикуляры имеют общее направление.
По свойству параллелограмма и расположению проведённых перпендикуляров третья высота исходного треугольника проходит через точку пересечения первых двух. Значит, CO ⟂ AB, то есть CO является высотой из C. Это иллюстрирует доказательство теоремы: две высоты задают точку, а третья проходит через неё.
Ответ: CO ⟂ AB, поэтому прямая CO является высотой треугольника ABC из вершины C. Следовательно, все три высоты пересекаются в точке O. При записи доказательства обязательно указывайте, к какой прямой проведена каждая высота и какая параллельность позволяет перенести перпендикулярность.
Считают высотой только отрезок внутри треугольника. Такую ошибку допускают, когда представляют высоту как часть рисунка, а не как перпендикуляр к прямой, содержащей сторону. Особенно это мешает в тупоугольном треугольнике. Проверьте себя: если перпендикуляр не попадает на сторону, продлите её и проведите высоту к полученной прямой.
Путают высоту с медианой или биссектрисой. Все три отрезка выходят из вершины, но определяются по-разному: высота перпендикулярна стороне, медиана делит её пополам, а биссектриса делит угол пополам. Похожее расположение линий на рисунке не доказывает, что они совпадают. Для проверки высоты используйте только условие перпендикулярности.
Утверждают, что ортоцентр всегда внутри треугольника. Такое представление возникает, если изучать только остроугольные треугольники. У тупоугольного треугольника ортоцентр расположен снаружи, а у прямоугольного — в вершине прямого угла. Перед ответом определите вид треугольника по величине его углов.
Для построения высоты используются перпендикулярные прямые: угол между высотой и стороной равен 90°. Параллельные прямые помогают доказывать, что перпендикулярность сохраняется при переходе от стороны к параллельной ей прямой. В задачах о пересечении высот также применяют свойства параллелограмма и признаки равенства углов. Эта тема продолжает изучение треугольника и показывает, как геометрические построения приводят к существованию общей точки.
Что утверждает теорема о пересечении высот треугольника?
Все три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром. Теорема верна для остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников.
Как называется точка пересечения высот треугольника?
Она называется ортоцентром треугольника. В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри, в тупоугольном — снаружи, а в прямоугольном совпадает с вершиной прямого угла.
Может ли высота треугольника находиться за его пределами?
Да. В тупоугольном треугольнике высоты из двух острых вершин пересекают продолжения противоположных сторон, поэтому их часть лежит за пределами треугольника. При проведении такой высоты нужно ориентироваться на прямую, содержащую сторону, а не только на сам отрезок.
Как определить ортоцентр прямоугольного треугольника?
Ортоцентр прямоугольного треугольника — вершина его прямого угла. Два катета уже являются высотами, поскольку они перпендикулярны друг другу, и пересекаются именно в этой вершине.
73. Теорема о пересечении высот треугольника
