"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
У треугольника можно провести две особые окружности: одна касается всех его сторон, другая проходит через все три вершины. Чтобы построить первую, находят пересечение биссектрис углов, а для второй — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам. Эти точки равноудалены соответственно от сторон и вершин, поэтому становятся центрами окружностей. Разобравшись в этих свойствах, легче выполнять геометрические построения и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех трёх его сторон. Её центр находится внутри треугольника, а радиусом служит расстояние от центра до стороны. Такая окружность помогает увидеть связь между углами треугольника и расстояниями до его сторон.
Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектриса делит угол на две равные части, а каждая точка на ней равноудалена от сторон угла. Поэтому найденная точка подходит сразу для всех трёх сторон и задаёт радиус окружности.
Описанная около треугольника окружность — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Каждая вершина лежит на этой окружности, то есть находится от её центра на одинаковом расстоянии. Это определение позволяет связать треугольник с окружностью через его вершины.
Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка под прямым углом к нему, и любая его точка равноудалена от концов отрезка. Поэтому центр находится на одинаковом расстоянии от трёх вершин.
Пусть точка O лежит на биссектрисе угла. Опустим из неё перпендикуляры к обеим сторонам угла: они образуют прямоугольные треугольники с общей гипотенузой, а острые углы при O равны. Прямоугольные треугольники равны, поэтому перпендикуляры имеют одинаковую длину. Именно длину такого перпендикуляра называют расстоянием от точки до стороны.
В треугольнике биссектрисы двух углов пересекаются. Полученная точка равноудалена от сторон этих углов, а значит — от всех трёх сторон треугольника. Последнее следует из равенства углов: точка, равноудалённая от сторон двух углов, лежит и на биссектрисе третьего. Если взять общее расстояние за радиус, окружность с центром в этой точке коснётся каждой стороны.
Теперь рассмотрим отрезок и его серединный перпендикуляр. Точка на нём образует с концами отрезка два прямоугольных треугольника: половины отрезка равны, перпендикулярная сторона общая. Эти треугольники равны, поэтому расстояния от точки до концов отрезка одинаковы. Это свойство позволяет находить точки, которые могут быть центрами окружностей через заданные вершины.
Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Она равноудалена от концов обеих сторон, то есть от всех трёх вершин. Поэтому эта же точка лежит на серединном перпендикуляре к третьей стороне: её концы тоже находятся от неё на одинаковом расстоянии. Так появляется общий центр окружности, проходящей через все вершины.
После нахождения центра остаётся определить радиус. Для вписанной окружности из центра проводят перпендикуляр к любой стороне и берут его длину: расстояния до всех сторон равны. Для описанной окружности соединяют центр с любой вершиной и берут длину этого отрезка: расстояния до всех вершин одинаковы. В обоих случаях окружность чертят выбранным радиусом вокруг найденного центра.
| Признак | Вписанная окружность | Описанная окружность |
|---|---|---|
| С чем связана окружность | Касается трёх сторон | Проходит через три вершины |
| Что является центром | Пересечение биссектрис | Пересечение серединных перпендикуляров |
| Как найти центр | Провести биссектрисы углов | Провести серединные перпендикуляры к сторонам |
| Чему равен радиус | Расстоянию от центра до стороны | Расстоянию от центра до вершины |
| Положение центра относительно треугольника | Всегда внутри | Внутри, снаружи или на стороне |
Сначала определи, что должна делать окружность: касаться сторон или проходить через вершины. Это сразу подскажет, какие линии строить для нахождения центра. Затем выбери радиус: расстояние до стороны для вписанной окружности или до вершины для описанной.
Задача 1. В треугольнике ABC биссектрисы углов A и B пересекаются в точке O. Объясним, почему O — центр вписанной окружности. Здесь важно проверить расстояния до всех трёх сторон, а не только до двух сторон одного угла.
Ответ: точка O равноудалена от сторон AB, AC и BC, поэтому является центром вписанной окружности треугольника ABC.
Задача 2. Построить окружность, описанную около треугольника ABC. Окружность должна проходить через все три вершины, поэтому её центр должен быть равноудалён от A, B и C. Искомый центр получим как пересечение линий, точки которых равноудалены от концов выбранных сторон.
Ответ: искомая окружность имеет центр O и радиус OA.
Задача 3. В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, AC = 6 см, BC = 8 см. Найдём радиус описанной окружности. Сначала потребуется длина гипотенузы AB, потому что в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится в её середине.
Ответ: радиус описанной окружности равен 5 см.
Путают центр вписанной окружности с пересечением высот или медиан. Эти линии решают другие задачи, а окружность должна касаться сторон на одинаковом расстоянии от центра. Проверь себя: для вписанной окружности ищи пересечение биссектрис углов.
Смешивают биссектрисы и серединные перпендикуляры. Первые делят угол пополам и помогают найти центр вписанной окружности, вторые делят сторону пополам под прямым углом и задают центр описанной. Чтобы не ошибиться, сначала спроси, связана ли окружность со сторонами или с вершинами.
Радиус вписанной окружности иногда принимают за расстояние от центра до вершины. Но окружность должна касаться стороны, поэтому радиус проводят перпендикулярно именно к ней. Проверь построение: отрезок радиуса должен соединять центр с точкой касания под прямым углом.
Считают, что центр описанной окружности всегда внутри треугольника. Это верно только для остроугольного треугольника; у тупоугольного он расположен снаружи. Проверка простая: построй серединные перпендикуляры и определи, где находится их пересечение, а не угадывай по виду окружности.
Для построения центров понадобятся свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. Нужно уметь проводить перпендикуляр и понимать, что точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла, а точка на серединном перпендикуляре — от концов отрезка. Эти знания соединяют построения с доказательствами равенства треугольников. Они пригодятся и в задачах на окружности и треугольники.
Как найти центр вписанной окружности треугольника?
Проведи биссектрисы двух углов треугольника: их пересечение и будет центром вписанной окружности. Третья биссектриса тоже проходит через эту точку.
Почему центр вписанной окружности равноудалён от сторон?
Центр лежит на биссектрисе каждого угла, а любая точка биссектрисы равноудалена от сторон этого угла. Поэтому расстояния от центра до всех трёх сторон одинаковы.
Как построить окружность, описанную около треугольника?
Проведи серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника и отметь их пересечение. Это центр описанной окружности; проведи окружность с этим центром через любую вершину.
Может ли центр описанной окружности находиться вне треугольника?
Да. У тупоугольного треугольника центр описанной окружности находится снаружи, а у остроугольного — внутри. У прямоугольного он лежит на середине гипотенузы.
Где находится центр описанной окружности прямоугольного треугольника?
Он находится в середине гипотенузы — стороны, лежащей напротив прямого угла. Поэтому радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
§ 4. Вписанная и описанная окружности
