§ 12. Вписанная и описанная окружности

Определения и обозначения

Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех сторон многоугольника; её центр равноудалён от сторон. Иными словами, от центра до каждой стороны можно провести одинаковый перпендикуляр. Это определение помогает понять, где искать центр и как измерять радиус такой окружности.

Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины многоугольника; её центр равноудалён от вершин. Значит, расстояния от центра до вершин одинаковы и являются радиусами. Это понятие нужно, чтобы рассматривать вершины фигуры как точки одной окружности.

Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис его углов. Биссектриса делит угол на две равные части, а точки на ней равноудалены от сторон угла. Поэтому этот центр подходит для окружности, касающейся трёх сторон.

Центр описанной окружности треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Серединный перпендикуляр — прямая, перпендикулярная стороне и проходящая через её середину. Его точки равноудалены от концов стороны, поэтому такое построение позволяет найти точку, равноудалённую от всех вершин.

Как это устроено

Представь окружность, касающуюся двух сторон угла, и её центр. Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен стороне, поэтому расстояния от центра до обеих сторон равны. А всякая точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Значит, центр окружности должен находиться на биссектрисе каждого угла треугольника.

У треугольника биссектрисы пересекаются в одной точке. Это можно увидеть так: пересечение биссектрис двух углов равноудалено от сторон каждого из этих углов. Две стороны треугольника уже дают все три его стороны, следовательно, расстояние до третьей стороны тоже такое же. Поэтому найденная точка подходит для центра окружности, касающейся всех сторон.

Для описанной окружности центр должен быть на одинаковом расстоянии от двух концов каждой стороны: это вершины треугольника. Если расстояния от точки до концов отрезка равны, точка лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Поэтому центр окружности, проходящей через вершины, должен находиться на серединных перпендикулярах к сторонам.

Серединные перпендикуляры к трём сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Пересечение перпендикуляров к двум сторонам равноудалено от концов каждой из них, то есть от всех трёх вершин. Поэтому оно лежит и на серединном перпендикуляре к третьей стороне. Проведённая из этой точки окружность через одну вершину пройдёт и через две другие: расстояния до всех вершин одинаковы.

Для построения сначала находят нужный центр, а затем задают радиус. У вписанной окружности радиусом служит расстояние от центра до стороны: его находят, опустив перпендикуляр. У описанной окружности радиусом будет расстояние от центра до любой вершины. Так различие в построении напрямую следует из определений двух окружностей.

Вписанная и описанная окружности треугольника

Сначала определи, какую окружность нужно построить: касающуюся сторон или проходящую через вершины. Затем по соответствующему столбцу выбери линии для нахождения центра. Последняя подсказка — правило для радиуса — помогает проверить построение.

Разбор задач

Задача 1. Постройте вписанную окружность треугольника ABC. Нужно найти точку, которая будет равноудалена от сторон, а затем определить расстояние от неё до стороны. Удобно начать с двух углов: пересечения их биссектрис достаточно, чтобы получить центр.

1. Проведите биссектрисы двух углов треугольника, например A и B.
2. Обозначьте точку их пересечения I. Это центр вписанной окружности: она равноудалена от сторон треугольника.
3. Из I опустите перпендикуляр на любую сторону, например AB. Обозначьте точку пересечения перпендикуляра со стороной D.
4. Проведите окружность с центром I и радиусом ID. Расстояния от I до остальных сторон такие же, поэтому окружность касается и их.

Ответ: окружность с центром в точке пересечения биссектрис и радиусом, равным перпендикуляру от центра к стороне.

Задача 2. Постройте описанную окружность треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см. Длины сторон помогают задать треугольник, но для поиска центра нужно использовать не сами длины, а свойство равноудалённости от вершин. Найдём его серединными перпендикулярами к двум сторонам.

1. Постройте треугольник с заданными сторонами, например AB = 5 см, BC = 6 см и AC = 7 см.
2. Найдите середины двух сторон и проведите через них перпендикуляры к этим сторонам.
3. Обозначьте точку пересечения перпендикуляров O. Она равноудалена от концов обеих сторон, а значит, от всех вершин треугольника.
4. Проведите окружность с центром O через любую вершину, например A. Её радиус равен OA; окружность пройдёт также через B и C.

Ответ: окружность с центром O и радиусом OA, проходящая через все три вершины.

Задача 3. В треугольнике ABC центр описанной окружности O лежит на стороне AC. Определите вид треугольника и объясните положение O. Поскольку O — центр описанной окружности, расстояния до вершин равны: OA = OB = OC. При этом O находится на AC, поэтому важно сравнить именно OA и OC.

1. Из равенства OA = OC следует, что O — середина отрезка AC.
2. Отрезок AC проходит через центр окружности и соединяет две её точки. Поэтому AC является диаметром описанной окружности.
3. Угол ABC опирается на диаметр AC. Такой вписанный угол прямой, следовательно, треугольник ABC прямоугольный при B.

Ответ: треугольник ABC прямоугольный при B, а O — середина гипотенузы AC.

Типичные ошибки

Иногда вписанную и описанную окружности путают: первая касается сторон, а вторая проходит через вершины. Ошибка возникает, если запомнить только, что обе связаны с многоугольником. Проверь себя вопросом: окружность касается стороны или пересекает её в вершинах? Это сразу подскажет нужное название.

Центр вписанной окружности могут искать пересечением высот. Высота тоже проводится из вершины, поэтому её легко спутать с биссектрисой, но она перпендикулярна противоположной стороне и решает другую задачу. Для проверки вспомни: расстояния от центра вписанной окружности должны быть одинаковыми до сторон. Значит, нужны биссектрисы, а не высоты.

Другая ошибка — искать центр описанной окружности пересечением медиан. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, но её точки не обязательно равноудалены от вершин. Серединный перпендикуляр проходит через середину стороны и образует с ней прямой угол. Проверь построение: каждая выбранная линия должна давать равные расстояния до концов своей стороны.

При построении можно неверно выбрать радиус: у описанной окружности взять расстояние до стороны, а у вписанной — до вершины. Это происходит, когда забывают, что именно лежит на каждой окружности. У описанной окружности радиус идёт от центра к вершине; у вписанной — к точке касания на стороне и перпендикулярен ей. Сверь радиус с этим правилом перед тем, как проводить окружность.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся свойства биссектрисы и серединного перпендикуляра, а также понятия перпендикуляра и расстояния от точки до прямой. При обосновании равенств помогают признаки равенства треугольников и свойства равнобедренного треугольника. Построение центров окружностей пригодится в задачах о треугольниках, а затем и при изучении правильных многоугольников. Так знакомые линии треугольника получают новое применение.

Что запомнить

• Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника.
• Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника.
• Центр вписанной окружности треугольника — пересечение биссектрис.
• Центр описанной окружности треугольника — пересечение серединных перпендикуляров.
• Радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне в точке касания.
• Радиус описанной окружности соединяет её центр с вершиной треугольника.