45. Об аксиомах геометрии

Определения и обозначения

Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства как исходное положение теории. Это не догадка и не просто фраза, которая кажется очевидной: аксиома должна входить в выбранную систему и служить основанием для рассуждений. Без таких начальных положений не получилось бы начать доказательства.

Теорема — утверждение, истинность которого доказывается с помощью аксиом и ранее доказанных утверждений. В доказательстве показывают, почему вывод следует из уже принятых оснований. Теоремы позволяют получать новые знания, не вводя каждый факт как отдельную исходную договорённость.

Система аксиом — совокупность исходных положений, на которых строится геометрия. Аксиомы рассматриваются не поодиночке, а вместе: важно, какие утверждения они позволяют вывести и не противоречат ли друг другу. Такая система задаёт основу конкретной геометрической теории.

Аксиоматический метод — построение научной теории через определения, аксиомы и доказательства. Сначала задают основные понятия и исходные положения, затем логически выводят свойства и теоремы. Метод нужен, чтобы отделить принятую основу от того, что удалось доказать.

Как это устроено

В геометрии невозможно доказать абсолютно всё, потому что любое доказательство опирается на какие-то предыдущие утверждения. Если требовать доказательства для каждого основания, придётся искать для него ещё одно основание, а затем следующее — цепочка не получит начала. Поэтому выбирают аксиомы и принимают их в рамках системы без доказательства. Это не мешает строгости: строгость состоит в том, чтобы каждый дальнейший вывод действительно следовал из принятых положений.

Исходный язык геометрии составляют основные понятия, например точка, прямая и плоскость, а также отношения между ними. Их смысл уточняют аксиомы: те сообщают, как объекты связаны и какие свойства им приписываются. Новые термины вводят определениями, а утверждения о свойствах фигур доказывают логическими рассуждениями. Так из небольшого набора оснований получают целую систему знаний, а не просто список наблюдений.

Аксиому отличает от теоремы статус: первую принимают как основание, вторую подтверждают доказательством. Определение не устанавливает, что свойство верно, а объясняет, что означает термин; например, оно может задать, какую фигуру называют параллелограммом. Правило обычно предлагает способ действия, а слово «свойство» описывает характеристику объекта и само по себе не говорит, доказана ли она. Чтобы разобраться в конкретном утверждении, спроси себя: вводит ли оно смысл слова, принимается ли как исходное или выводится из других фактов?

Система аксиом должна быть непротиворечивой: нельзя, опираясь на неё, доказать одновременно утверждение и его отрицание. Иначе она позволила бы получить взаимоисключающие результаты, и теория потеряла бы смысл. Для построения геометрии система также должна быть достаточной: её оснований должно хватать, чтобы обосновать нужные утверждения. Достаточность оценивают относительно задачи и той теории, которую собираются строить.

Особое место занимает аксиома о параллельных прямых. В евклидовой геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это условие не следует считать общим свойством любой мыслимой геометрии: если его изменить, изменятся выводы о прямых и фигурах. Поэтому именно выбор этой аксиомы во многом определяет содержание евклидовой геометрии.

Основные элементы аксиоматического построения геометрии

Таблица показывает, какие части участвуют в построении теории и какую роль играет каждая из них. При разборе утверждения сначала определи, вводит ли оно понятие или сообщает о свойствах объектов, а затем выясни, принято оно или доказано. Так проще не спутать определение, аксиому и теорему.

Разбор задач

Задача 1. Определить, какие утверждения являются аксиомами, а какие — теоремами: «через две точки проходит единственная прямая»; «сумма углов треугольника равна 180°». Решение зависит от статуса утверждений в принятой школьной системе: нужно выяснить, какое положение берут исходным, а какое обосновывают. Одной кажущейся очевидности для такого выбора недостаточно.

1. Утверждение о единственной прямой через две точки принимают как исходное положение геометрии.
2. Значит, в этой системе оно является аксиомой и не требует доказательства внутри неё.
3. Сумму углов треугольника получают рассуждением на основе аксиом и свойств параллельных прямых, поэтому это теорема.

Ответ: первое утверждение — аксиома, второе — теорема. В другой системе статус конкретного положения нужно проверять заново.

Задача 2. Объяснить, на каких аксиомах основано утверждение: «если две прямые имеют общую точку, то они пересекаются». Здесь важно не подменять рассуждение рисунком: пересечение означает, что прямые имеют общую точку. Нужно также понять, почему общей точки достаточно для применения этого названия.

1. Пусть у прямых a и b есть общая точка P.
2. По смыслу прямой P принадлежит и a, и b, то есть это точка их пересечения.
3. Следовательно, прямые пересекаются в P; аксиомы о принадлежности точек прямым закрепляют геометрический язык, которым описывается эта ситуация.

Ответ: вывод следует из смысла общей точки и пересечения, а аксиомы о точках и прямых задают основания такого рассуждения. Если прямые различны, аксиома о единственности прямой через две точки также не позволяет им иметь две общие точки.

Задача 3. Сравнить евклидову геометрию с геометрией, в которой через точку вне прямой можно провести несколько параллельных прямых. Сравнивать следует не внешний вид чертежа, а исходные положения и выводы из них. В условии изменена именно аксиома о параллельных прямых, поэтому проверим, что это меняет.

1. В евклидовой геометрии через заданную внешнюю точку проходит ровно одна параллельная данной прямой.
2. В описанной системе их несколько, то есть условие единственности заменено другим.
3. Теоремы, доказательство которых использует единственность параллельной, могут перестать быть верными или потребовать другой формулировки.

Ответ: это разные геометрические теории с разными аксиомами и возможными свойствами. Изменение исходного положения не означает логическую ошибку, если вся новая система непротиворечива.

Типичные ошибки

• Считать аксиомой любое очевидное утверждение. Так думают, потому что в знакомой ситуации некоторые факты кажутся само собой разумеющимися. Но очевидность не определяет статус: проверь, принято ли утверждение как исходное в данной системе или оно доказывается.
• Доказывать аксиомы или использовать недоказанную теорему как аксиому. В первом случае ученик ищет для исходного положения основание внутри системы, а во втором пропускает необходимый шаг доказательства. Проверь, какие факты разрешено использовать и каков их статус в условии.
• Путать определение с аксиомой. Это происходит потому, что оба высказывания могут быть записаны словами и выглядеть важными. Определение сообщает, что означает термин, а аксиома утверждает связь или свойство объектов; спроси себя, вводится ли новое название.
• Считать, что все геометрические утверждения универсальны и не зависят от системы аксиом. Часто к этому приводит привычка изучать только евклидову геометрию. Проверь, на каких исходных положениях построено доказательство: при другой аксиоме о параллельных прямых некоторые выводы могут измениться.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны основные понятия геометрии и умение различать определения, теоремы и доказательства, а также читать рассуждение вида «если — то». Понимание аксиом пригодится при доказательстве свойств прямых, углов и треугольников: оно помогает видеть, на каком основании сделан каждый шаг. Позже роль исходных положений особенно заметна при изучении параллельных прямых и сравнении разных геометрий. Тот же аксиоматический метод используют в математической логике и при построении других научных теорий.

Что запомнить

• Аксиома принимается без доказательства.
• Теорема доказывается с помощью аксиом и ранее установленных фактов.
• Аксиомы образуют основу геометрической теории.
• Определение раскрывает смысл понятия, а не доказывает его свойство.
• Аксиоматическая система должна быть непротиворечивой и достаточной.
• Аксиома о параллельных прямых определяет особенности евклидовой геометрии.