44. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом, которое называют вершиной. Величина угла не зависит от длины его лучей, а определяется только направлением этих лучей. Это позволяет сравнивать углы, даже если на чертеже их стороны имеют разную длину.

Соответственно параллельные стороны углов — это пары сторон, которые параллельны друг другу. Например, первая сторона одного угла сопоставляется с первой стороной другого, а вторая — со второй. Такое соответствие нужно, чтобы понять, какие направления сравниваются.

Соответственно перпендикулярные стороны — пары соответствующих сторон двух углов, которые попарно перпендикулярны. Значит, каждая выбранная сторона одного угла образует прямой угол с назначенной ей стороной другого. Без указания соответствия нельзя надёжно применить свойство.

Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны являются противоположными лучами. Они образуют развёрнутый угол, поэтому сумма их величин равна 180°. Это свойство помогает заменить угол на другой, когда при построении появляется противоположное направление.

Как это устроено

Если стороны двух углов соответственно параллельны, через их вершины можно мысленно провести параллельные прямые. Тогда стороны углов играют роль параллельных прямых, а другая сторона — роль секущей. Свойства углов при параллельных прямых показывают, что направления могут совпасть или отличаться на развёрнутый угол.

Когда оба угла острые или оба тупые, их соответствующие стороны направлены одинаковым образом относительно друг друга. Поэтому величины углов совпадают. Если один угол острый, а второй тупой, один из них фактически дополняет другой до развёрнутого угла, и их сумма равна 180°.

При соответственно перпендикулярных сторонах каждое направление можно повернуть на 90°. Такой поворот не изменяет угол между двумя направлениями, поэтому получившийся угол сохраняет исходную величину. Но если один луч направлен противоположно соответствующему лучу, вместо самого угла возникает смежный с ним угол.

Из-за этого для перпендикулярных сторон получается тот же итоговый выбор. Углы одного вида, то есть оба острые или оба тупые, равны. Углы разных видов имеют сумму 180°, поскольку один можно рассматривать как смежный с углом, равным другому.

В решении задачи действуйте в определённом порядке. Сначала установите, какие стороны соответствуют друг другу, и проверьте условие параллельности или перпендикулярности. Затем сравните виды углов: это подскажет, нужно ли записать равенство или вычесть известную величину из 180°.

Связь между углами с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Сначала найдите в таблице отношение соответствующих сторон, а затем определите вид обоих углов. Если виды совпадают, используйте равенство, а если различаются — сумму 180°.

Таблица подходит и для параллельных, и для перпендикулярных сторон. Она не заменяет проверку соответствия: произвольные стороны сопоставлять нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Угол A равен 48°. Стороны угла B соответственно параллельны сторонам угла A, причём угол B острый. Требуется найти угол B. Оба угла острые, поэтому применяем случай равенства.

1. Стороны углов A и B соответственно параллельны.
2. Угол A равен 48°, то есть является острым, и угол B по условию тоже острый.
3. Углы одного вида с соответственно параллельными сторонами равны: ∠B = ∠A.
4. Подставляем известное значение: ∠B = 48°.

Ответ: 48°.

Задача 2

Угол C равен 124°. Стороны угла D соответственно перпендикулярны сторонам угла C, а D — острый. Нужно понять, равны ли углы или дополняют друг друга до 180°. Так как 124° — тупой угол, а D — острый, используется второй случай.

1. Углы C и D имеют соответственно перпендикулярные стороны.
2. Угол C тупой, потому что 124° больше 90°, а угол D острый.
3. Их сумма равна 180°: ∠C + ∠D = 180°.
4. Находим неизвестный угол: ∠D = 180° − 124° = 56°.

Ответ: 56°.

Задача 3

Угол E равен 37°, а стороны угла F соответственно перпендикулярны сторонам угла E. Вид угла F не указан, поэтому возможны два случая. Нужно рассмотреть как равенство углов одного вида, так и дополнительность углов разных видов.

1. Если F острый, то E и F оба острые, поэтому ∠F = 37°.
2. Если F тупой, то один угол острый, а другой тупой, поэтому ∠E + ∠F = 180°.
3. Во втором случае ∠F = 180° − 37° = 143°.
4. Оба значения соответствуют условию, но реализуются при разном направлении лучей.

Ответ: 37° или 143°.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что соответственно параллельные стороны всегда дают равные углы. Так бывает только для углов одного вида; у острого и тупого углов сумма равна 180°. Проверьте каждый угол по величине: меньше 90° или больше 90°.

Ошибка 2. Считать, что перпендикулярные стороны обязательно дают равные углы. Направления лучей могут быть противоположными, и тогда появляется смежный угол. Сначала определите, острый или тупой каждый угол.

Ошибка 3. Сопоставлять произвольные стороны двух углов. Перпендикулярность или параллельность должна быть установлена именно для соответствующих пар. Полезно мысленно назвать стороны первой и второй и проверить каждую пару отдельно.

Ошибка 4. Вычитать известный угол из 90°. Это неверно, потому что данные углы не обязаны быть частями прямого угла. При разных видах углов используйте формулу ∠1 + ∠2 = 180°.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны виды углов, свойства смежных и вертикальных углов, а также признаки параллельности прямых. Эти знания объясняют, почему при совпадении направлений углы равны, а при противоположном направлении становятся смежными.

Тема пригодится в задачах на углы при параллельных прямых. Она также помогает доказывать равенство углов и устанавливать, что их сумма равна 180°, даже если углы расположены далеко друг от друга.

Что запомнить

• Сопоставлять нужно именно соответствующие стороны углов.
• При соответственно параллельных сторонах углы равны или в сумме дают 180°.
• При соответственно перпендикулярных сторонах углы также равны или в сумме дают 180°.
• Если оба угла острые или оба тупые, они равны.
• Если один угол острый, а другой тупой, их сумма равна 180°.