43. Свойства параллельных прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются; записывают a ∥ b. Проще говоря, как бы далеко мы ни продолжали такие прямые, общей точки у них не появится. Это обозначение позволяет коротко указать условие, при котором применяются свойства углов.

Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Она образует углы возле каждого пересечения и помогает сравнить их расположение. По тому, где находятся эти углы, можно определить, какое свойство использовать.

Соответственные углы — углы, занимающие одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба могут располагаться справа от секущей и над пересекаемыми прямыми. Такое положение важно потому, что у параллельных прямых соответствующие углы равны.

Накрест лежащие и односторонние углы — пары внутренних углов: накрест лежащие находятся по разные стороны секущей, а односторонние — по одну сторону от неё. Внутренними называют углы между двумя прямыми. Различие между парами нужно, чтобы не перепутать правило: первые равны, а сумма вторых составляет 180°.

Как это устроено

Когда секущая пересекает две параллельные прямые, возле каждой точки пересечения образуются четыре угла. Их удобно мысленно разделить на пары по положению: соответствующие занимают одинаковые места, накрест лежащие находятся между прямыми по разные стороны секущей, а внутренние односторонние — между прямыми с одной её стороны. На условном чертеже две параллельные прямые можно провести горизонтально, а секущую — наклонно: важно отмечать, где внутренние области и по какую сторону проходит секущая. Такой разбор положения нужен до вычислений, иначе легко применить не то свойство.

Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны не случайно. Один из них равен соответственному углу у другого пересечения: это свойство углов, возникающих при пересечении параллельных прямых секущей. Этот соответственный угол и второй накрест лежащий образуют пару вертикальных углов. Вертикальные углы равны, поэтому по цепочке равенств исходные накрест лежащие углы тоже равны.

Равенство соответственных углов можно получить из равенства накрест лежащих. Возьмём соответственный угол и рассмотрим угол, вертикальный ему у того же пересечения: вертикальные углы равны. Этот вертикальный угол образует с углом у второго пересечения пару накрест лежащих, поэтому они равны. Значит, соответственный угол равен углу у второго пересечения; такое рассуждение позволяет вывести нужное равенство через уже установленное свойство накрест лежащих углов.

Внутренние односторонние углы в сумме дают 180°, потому что один из них смежен с углом, равным другому внутреннему углу. Смежные углы образуют развернутый угол и потому дают 180°. Если заменить смежный угол равным ему внутренним односторонним, сумма не изменится. Получаем, что сумма исходных внутренних односторонних углов также равна 180°.

Чертёж можно повернуть или провести секущую с наклоном в другую сторону — свойства от этого не меняются. Углы определяют не по тому, похожи ли они на букву или выглядят ли «верхними», а относительно самих прямых и секущей. Сначала найдите область между параллельными прямыми, затем установите, по одну или по разные стороны секущей лежат углы. Это помогает распознать пару даже на непривычном рисунке.

Углы при пересечении параллельных прямых секущей

Сначала найдите в таблице пару по её положению, а затем используйте указанное соотношение. Если величина одного угла известна, равный ему угол имеет ту же величину, а для одностороннего нужно вычесть её из 180°. Правило подходит только при условии, что прямые параллельны.

Разбор задач

Задача 1. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из накрест лежащих углов равен 68°. Найдём второй. Эти углы находятся между параллельными прямыми и по разные стороны секущей, поэтому применяем свойство накрест лежащих углов. Их величины равны.

1. Уточняем по условию, что прямые параллельны, значит свойство для накрест лежащих углов применимо.
2. Записываем равенство: второй угол = 68°.
3. Проверяем выбор: названы именно накрест лежащие углы, а не односторонние.

Ответ: 68°.

Задача 2. Один из внутренних односторонних углов равен 117°. Чтобы найти другой, нельзя приравнять его к известному: односторонние углы дополняют друг друга до 180°. Поэтому вычтем известную величину из 180°. Результат будет меньше 90°, что согласуется с тем, что вместе углы должны составить развернутый угол.

1. Записываем соотношение: первый угол + второй угол = 180°.
2. Подставляем известную величину: 117° + второй угол = 180°.
3. Вычитаем: второй угол = 180° − 117° = 63°.

Ответ: 63°.

Задача 3. Внутренние односторонние углы равны 3x + 15° и 5x + 5°. Прямые в условии считаются параллельными, поэтому сумма этих углов должна быть 180°. Составим уравнение, найдём x и подставим его в оба выражения, чтобы получить величины углов и проверить сумму.

1. Складываем выражения и приравниваем к 180°: (3x + 15) + (5x + 5) = 180.
2. Приводим подобные слагаемые: 8x + 20 = 180, откуда 8x = 160 и x = 20.
3. Находим углы: 3 · 20 + 15 = 75°, а 5 · 20 + 5 = 105°.
4. Проверяем: 75° + 105° = 180°, значит значения согласуются со свойством внутренних односторонних углов.

Ответ: x = 20; углы равны 75° и 105°.

Типичные ошибки

Можно перепутать соответственные и накрест лежащие углы, если ориентироваться лишь на похожий вид чертежа. Ученик замечает, что оба угла находятся «с одной стороны», но не уточняет, относительно какой прямой или секущей. Проверьте, одинаковое ли у углов положение у двух пересечений или они лежат внутри прямых по разные стороны секущей. Только после этой проверки выбирайте свойство.

Односторонние углы иногда ошибочно считают равными, потому что смешивают их с накрест лежащими. Но у внутренних односторонних углов равна не обязательно каждая величина: их сумма составляет 180°. Сложите найденные значения и проверьте, получилось ли 180°. Если да, условие выполнено, а равенство углов само по себе из положения не следует.

Ещё одна ошибка — считать равными любые углы, образованные секущей. У пересечений действительно есть вертикальные углы, которые равны, но это не означает, что равна любая выбранная пара. Назовите положение каждого угла и проверьте, относятся ли они к вертикальной, соответственной или накрест лежащей паре. Если подходящего правила нет, равенство нельзя обосновать только тем, что углы нарисованы рядом.

Обозначения буквами или числами не всегда перечислены в порядке расположения углов. Из-за этого можно принять обозначенные углы за нужную пару, не сверившись с чертежом. Сначала найдите каждый угол по его вершине и сторонам, затем определите, внутренний он или внешний и по какую сторону секущей лежит. Так выбор свойства не зависит от порядка обозначений.

Связь с другими темами

Перед изучением свойств параллельных прямых нужно различать виды углов, знать, что вертикальные углы равны, а сумма смежных составляет 180°. Также пригодится обозначение a ∥ b. Эти знания объясняют, почему пары углов при секущей оказываются равными или дополнительными.

Новые свойства помогают находить неизвестные углы в многоугольниках и доказывать параллельность прямых. В задачах с секущей они позволяют связать углы, расположенные у разных пересечений, и составить равенство или уравнение. Так геометрическое рассуждение становится последовательным: положение углов подсказывает правило, а правило — нужные вычисления.

Что запомнить

• При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны.
• Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.
• Внутренние односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°.
• Вертикальные углы равны, а смежные углы в сумме дают 180°.
• Чтобы применить свойство, сначала правильно определите пару углов.