"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если их пересечь третьей прямой — секущей, — появятся пары углов с определённым взаимным расположением. Накрест лежащие и соответственные углы окажутся равны, а внутренние односторонние составят вместе 180°. Эти правила помогают находить неизвестные углы и доказывать, что прямые параллельны. Для решения задач сначала нужно правильно определить, где находятся углы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — это прямые одной плоскости, которые не пересекаются; обозначение: a ∥ b. Иначе говоря, сколько бы далеко мы ни продолжали такие прямые, общей точки у них не появится. Это понятие позволяет описывать взаимное расположение прямых и использовать связанные с ним свойства углов.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. Например, она может пересечь две параллельные прямые и образовать при этом восемь углов. Секущая нужна, чтобы сравнивать углы у двух точек пересечения и применять свойства параллельных прямых.
Накрест лежащие углы — углы, расположенные между двумя прямыми по разные стороны секущей. Их удобно узнавать по положению «внутри» и «на разных сторонах»: такие углы образуют пару для сравнения. Если прямые параллельны, накрест лежащие углы равны.
Соответственные углы — углы, занимающие одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба угла могут находиться сверху от своей прямой и справа от секущей. Это положение помогает не спутать их с накрест лежащими; при параллельных прямых соответственные углы равны.
Когда секущая пересекает параллельные прямые, у каждой точки пересечения образуются углы, которые можно объединить в пары по их расположению. Параллельность даёт основание сравнивать углы, созданные одной секущей у разных прямых. Поэтому важно не просто видеть два угла, а сначала определить, где каждый из них находится относительно прямых и секущей. После этого можно выбрать подходящее соотношение и найти неизвестную величину.
Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны не потому, что они просто похожи на рисунке. Один из этих углов можно сопоставить с углом у другого пересечения: параллельные прямые имеют одинаковое направление, а секущая образует с ними соответствующие равные углы. Это можно обосновать через вертикальные и смежные углы: вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают 180°. Так получается, что величина одного накрест лежащего угла совпадает с величиной другого.
Соответственные углы занимают одинаковые места у двух пересечений. Один из них равен углу, вертикальному к накрест лежащему углу при другой точке пересечения. Вертикальные углы равны, а накрест лежащие углы при параллельных прямых тоже равны. Значит, соответственные углы равны между собой; это объяснение связывает новое свойство с уже знакомым свойством вертикальных углов.
Внутренние односторонние углы лежат между параллельными прямыми и по одну сторону секущей. Один из них равен накрест лежащему углу при другом пересечении. Получившийся угол и второй внутренний угол образуют смежную пару, то есть вместе составляют развёрнутый угол. Поэтому сумма внутренних односторонних углов равна 180°, хотя сами они обычно не равны.
Эти правила позволяют вычислять углы, даже если дана только одна величина. Сначала выясняют, пара ли это накрест лежащих, соответственных или внутренних односторонних углов. В первых двух случаях известное значение переносят без изменений, а для внутреннего одностороннего угла из 180° вычитают известную величину. Так свойства превращаются в понятный порядок действий, а не в угадывание по рисунку.
| Пара углов | Расположение | Соотношение |
|---|---|---|
| Накрест лежащие внутренние | Между прямыми, по разные стороны секущей | Равны |
| Соответственные | В одинаковом положении относительно прямых и секущей | Равны |
| Внутренние односторонние | Между прямыми, по одну сторону секущей | В сумме равны 180° |
Сначала по среднему столбцу определи положение нужной пары, а затем прочитай её соотношение. Если углы равны, значение одного сразу становится значением другого. Если они внутренние односторонние, вычти известный угол из 180°.
Задача 1. Параллельные прямые пересечены секущей. Один из накрест лежащих углов равен 67°. Найдите второй. Чтобы выбрать действие, сначала используем не величину угла, а его положение: оба угла лежат внутри параллельных прямых, но с разных сторон секущей.
Задача 2. Внутренние односторонние углы равны 3x° и (x + 20)°. Найдите x и величины углов. Они находятся между параллельными прямыми и по одну сторону секущей, поэтому их сумма равна 180°. Составим уравнение и после его решения подставим найденное значение переменной в каждое выражение.
Задача 3. Две прямые пересечены секущей, и образовавшиеся накрест лежащие углы равны 112°. Докажите, что прямые параллельны. Здесь требуется не найти угол, а установить взаимное расположение прямых. Поэтому применяем обратный признак параллельности, который позволяет сделать вывод по равенству углов.
Накрест лежащие и соответственные углы часто путают, потому что обе пары относятся к двум пересечениям одной секущей. Ошибка возникает, если смотреть только на очертания углов, а не на их положение. Проверь себя: накрест лежащие находятся между прямыми и по разные стороны секущей, а соответственные занимают одинаковые места у пересечений.
Внутренние односторонние углы иногда принимают за равные, перенося на них правило для другой пары. Но их свойство состоит не в равенстве, а в сумме 180°; равными они могут оказаться лишь в частном случае, когда каждый равен 90°. Для проверки сложи найденные значения: сумма должна быть 180°.
Свойства параллельных прямых нельзя применять, если параллельность не дана и ещё не доказана. Эту ошибку допускают, доверяя виду схематичного рисунка: нарисованные прямые могут казаться параллельными, но одного впечатления недостаточно. Проверь условие задачи или докажи параллельность, например, по равенству накрест лежащих углов.
При вычислениях можно выбрать сложение вместо вычитания из 180° или наоборот, если не определить вид пары. Сначала назови углы и реши, равны ли они или должны составить 180°; только потом записывай действие. В конце подставь ответ в это соотношение: равные углы должны совпасть, а односторонние внутренние — дать 180°.
Для изучения свойств параллельных прямых пригодятся знания о вертикальных и смежных углах. Вертикальные углы равны, а сумма смежных равна 180°; с их помощью объясняют, почему равны некоторые пары углов и почему другая пара даёт развёрнутый угол. Если эти правила понятны, обоснование свойств параллельных прямых становится последовательным.
Новые соотношения позволяют находить углы и доказывать параллельность прямых по признаку. Позже они пригодятся при решении задач о геометрических фигурах, где нужно находить неизвестные углы или подтверждать свойства сторон. Поэтому полезно учиться отличать свойство от признака: первое используют при известной параллельности, второе — чтобы её доказать.
Как понять, какие углы называются накрест лежащими?
Они находятся между двумя прямыми, но по разные стороны секущей. Чтобы не перепутать их, сначала отметь область между прямыми, а затем посмотри, по какую сторону секущей лежит каждый угол.
Чем соответственные углы отличаются от накрест лежащих?
Соответственные углы занимают одинаковые места у двух точек пересечения: например, оба расположены сверху от прямых и справа от секущей. Накрест лежащие находятся между прямыми и по разные стороны секущей.
Почему внутренние односторонние углы в сумме равны 180°?
Один внутренний угол можно сравнить с углом при другой точке пересечения, который ему равен как накрест лежащий. Этот угол и второй внутренний односторонний составляют смежную пару, а сумма смежных углов равна 180°.
Можно ли по равенству углов доказать, что прямые параллельны?
Да. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это обратный признак параллельности; равенство нужно установить по условию или доказать.
Как найти неизвестный угол, если известен один из углов при секущей?
Сначала определи, какую пару образуют углы. Накрест лежащий или соответственный угол равен известному, а внутренний односторонний равен 180° минус известный угол.
§ 15. Свойства параллельных прямых
