"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Когда секущая пересекает две параллельные прямые, образуются пары углов с закономерными соотношениями. Соответственные и внутренние накрест лежащие углы равны, а внутренние односторонние дают в сумме 180°. Эти свойства помогают вычислять неизвестные углы и объяснять, почему значения связаны. Чтобы выбрать нужное правило, сначала определяют положение углов относительно прямых и секущей, а затем проверяют, что прямые действительно параллельны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Представь, что одна прямая проходит через обе остальные и встречает каждую отдельно. Секущая помогает сравнивать углы, которые образовались при пересечении прямых.
Соответственные углы — пары углов, занимающих одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба угла могут лежать справа от секущей и выше своей прямой. Чтобы узнать такую пару, сравни положение каждого угла у своего пересечения.
Внутренние накрест лежащие углы — пары углов между двумя прямыми и по разные стороны секущей. Они словно расположены напротив друг друга относительно секущей, но у разных точек пересечения. Это название помогает быстро найти пару, для которой при параллельных прямых действует равенство.
Внутренние односторонние углы — пары углов между двумя прямыми и по одну сторону секущей. Оба угла находятся внутри полосы между прямыми, но не по разные стороны секущей. Их ищут, когда нужно проверить сумму углов, а не их равенство.
Пусть две прямые параллельны, а третья пересекает их и служит секущей. Чтобы связать соответственные углы, можно провести рассуждение через другие пары. Один из соответственных углов равен внутреннему накрест лежащему углу при второй точке пересечения, потому что это свойство параллельных прямых; второй соответственный угол вертикален этому накрест лежащему углу. Вертикальные углы равны, поэтому и исходные соответственные углы равны.
Внутренние накрест лежащие углы тоже равны, и это можно вывести через соответствующие углы. Один из накрест лежащих углов равен углу, который занимает соответствующее ему положение у другого пересечения. Этот угол вертикален второму накрест лежащему, поэтому они равны. Получается, что два внутренних угла, расположенных между прямыми по разные стороны секущей, имеют одинаковую величину.
Внутренние односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°. Один из них равен углу, который расположен у другого пересечения и смежен со вторым внутренним углом. Смежные углы образуют развернутый угол, то есть их сумма равна 180°. Значит, и сумма исходной пары внутренних односторонних углов составляет 180°.
На чертеже легко ошибиться, если сразу выбрать свойство по внешнему сходству углов. Сначала найди секущую, затем определи, какие углы лежат между прямыми, и проверь, по одну или по разные стороны секущей они расположены. Только после этого решай, перед тобой соответственная пара, внутренняя накрест лежащая или внутренняя односторонняя пара.
Если параллельность прямых уже известна, свойства помогают вывести равенство углов или их сумму. Например, при равенстве соответственных углов можно перенести известную величину на второй угол, а для внутренних односторонних — вычесть известный угол из 180°. Здесь рассуждение идёт от параллельности к соотношению углов. Не путай его с обратным ходом, когда по соотношению углов доказывают, что прямые параллельны.
| Пара углов | Расположение | Соотношение |
|---|---|---|
| Соответственные | Одинаковое положение относительно прямых и секущей | Равны |
| Внутренние накрест лежащие | Между прямыми, по разные стороны секущей | Равны |
| Внутренние односторонние | Между прямыми, по одну сторону секущей | В сумме дают 180° |
Сначала найди нужную пару по её расположению, а затем выбери соответствующую строку таблицы. Равенство применяй к соответственным или внутренним накрест лежащим углам. Для внутренних односторонних используй сумму 180°, а не равенство.
Параллельные прямые пересечены секущей. Один из соответственных углов равен 68°. Найдём второй. Поскольку прямые параллельны, соответственные углы равны.
Ответ: 68°.
Параллельные прямые пересечены секущей. Внутренние односторонние углы относятся как 2:3. Найдём их. Эти углы в сумме равны 180°, поэтому можно обозначить их через части одного и того же числа.
Ответ: 72° и 108°.
При пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны 74°. Обоснуем параллельность и найдём внутренний односторонний угол при этой секущей. В условии дано равенство накрест лежащих углов, поэтому здесь можно применить обратное утверждение.
Ответ: прямые параллельны; внутренний односторонний угол равен 106°.
Ошибка: считать углы соответственными только потому, что они равны. Равенство само по себе не показывает, какое название носит пара: его определяет расположение углов. Такую ошибку допускают, когда сначала замечают числа, а не чертёж. Проверь себя: отметь точки пересечения и сравни положение углов относительно каждой прямой и секущей.
Ошибка: путать внутренние накрест лежащие углы с внутренними односторонними. Обе пары находятся между прямыми, поэтому их легко перепутать, если не проследить, где проходит секущая. У накрест лежащей пары углы по разные стороны секущей, у односторонней — по одну. Проведи мысленно границу секущей и проверь, с какой стороны находится каждый угол.
Ошибка: приравнивать внутренние односторонние углы. Можно перенести на них правило для накрест лежащих углов, потому что обе пары внутренние. Но односторонние углы не обязаны быть равны: их сумма составляет 180°. Проверь вычисление сложением; если сумма не равна 180°, выбранное соотношение неверно.
Ошибка: применять свойства, не установив параллельность. Ученик может увидеть похожее положение углов и сразу использовать правило, хотя прямые не названы параллельными и это ещё не доказано. Свойства в таком случае не обоснованы. Перед вычислением найди в условии параллельность или докажи её по обратному утверждению о соотношениях углов.
Для этой темы нужны понятия параллельных прямых, секущей, вертикальных и смежных углов. Вертикальные углы равны, а смежные в сумме составляют 180° — эти факты помогают объяснить свойства углов при параллельных прямых. Полученные правила пригодятся в задачах на вычисление углов и доказательство. С признаками параллельности тема связана обратным ходом: там равенство углов или их сумма 180° служат основанием заключить, что прямые параллельны.
Как понять, какие углы называются соответственными?
Они находятся при разных точках пересечения секущей с прямыми и занимают одинаковое положение относительно секущей и каждой из прямых. Например, оба угла могут располагаться сверху от своей прямой и справа от секущей.
Чем внутренние накрест лежащие углы отличаются от внутренних односторонних?
Обе пары находятся между двумя прямыми. Накрест лежащие углы расположены по разные стороны секущей, а односторонние — по одну сторону.
Почему внутренние односторонние углы в сумме дают 180°?
Один из этих углов равен углу, смежному с другим. Смежные углы образуют развернутый угол, поэтому их сумма составляет 180°.
Можно ли по равенству углов доказать, что прямые параллельны?
Да, если установлено равенство соответственных или внутренних накрест лежащих углов. Также параллельность доказывают, если сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Это обратные утверждения к свойствам параллельных прямых.
Как найти неизвестный угол, если известна параллельность прямых?
Сначала определи, какую пару образуют известный и неизвестный углы. Если углы соответственные или внутренние накрест лежащие, они равны; если внутренние односторонние — их сумма 180°. Затем используй равенство или составь уравнение.
3.4 Свойства параллельных прямых
