3.5 Углы с соответственно параллельными сторонами

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи задают стороны угла, поэтому при сравнении углов нужно смотреть не только на прямые, содержащие стороны, но и на то, куда направлены лучи. Это позволяет понять, одинаково ли устроен поворот от одной стороны угла к другой. Без такого уточнения параллельность сторон не определяет, равны ли углы.

Соответственно параллельные стороны углов — это пары сторон, параллельных друг другу: каждой стороне одного угла соответствует параллельная ей сторона другого. Например, одну сторону первого угла сопоставляют с параллельной ей стороной второго, а вторые стороны образуют другую пару. Такое сопоставление нужно, чтобы правильно сравнить направления лучей. Если перепутать пары, вывод о соотношении углов может оказаться неверным.

Равные углы — это углы, имеющие одинаковую градусную меру. Например, если оба угла равны 47°, они равны независимо от того, в каком месте начерчены. Градусная мера показывает величину поворота от одной стороны угла до другой. Это определение нужно, чтобы точно выразить результат сравнения углов.

Углы, сумма градусных мер которых равна 180°, называют дополнительными до развёрнутого угла. Например, углы 128° и 52° дают в сумме 180°. Их стороны могут иметь разные направления, поэтому такие углы не обязательно равны. Это понятие помогает находить один угол по другому: достаточно вычесть известную меру из 180°.

Как это устроено

Если стороны двух углов попарно параллельны, их можно мысленно совместить, перемещая один угол параллельно самому себе. Такой перенос не меняет ни длину лучей, ни их направление, ни величину угла. После переноса становится легче увидеть, какие лучи смотрят в одну сторону, а какие — в противоположные. Поэтому анализ можно провести без привязки к тому, где именно нарисованы углы.

Когда обе пары соответствующих лучей сонаправлены, стороны одного угла после переноса совпадают по направлениям со сторонами другого. Поворот от первой стороны ко второй в обоих случаях имеет одну и ту же величину. Значит, градусные меры углов совпадают, и углы равны. Здесь решающим является совпадение направлений обеих пар, а не просто наличие параллельных прямых.

Если у одной пары соответствующие лучи направлены противоположно, положение меняется только для одной стороны. При мысленном совмещении один луч приходится развернуть на 180°, а другой сохраняет прежнее направление. В результате один угол занимает оставшуюся часть развёрнутого угла, образованного прямой линией. Поэтому градусные меры двух углов складываются в 180°.

Если противоположно направлены обе пары соответствующих лучей, направления меняются сразу у обеих сторон. Величина поворота между сторонами от этого не меняется: обе стороны как бы разворачиваются одновременно на одинаковую половину полного оборота. Поэтому и в этом случае углы равны. Само по себе изменение направлений двух лучей не означает, что угол станет дополнительным.

Итак, у углов с соответственно параллельными сторонами возможны два результата: равенство или сумма мер 180°. Чтобы выбрать нужный, сначала сопоставь стороны, затем отдельно проверь направление лучей в каждой паре. Две одинаковые ситуации — обе пары сонаправлены либо обе противоположно направлены — дают равные углы. Различие только в одной паре приводит к дополнительным углам.

Соотношение углов с соответственно параллельными сторонами

Пользуйся таблицей после того, как установил, какие стороны соответствуют друг другу. Затем проверь направление лучей в обеих парах и найди подходящую строку. Не делай вывод только по внешнему виду углов на чертеже.

Разбор задач

Задача 1

У углов соответственно параллельны стороны; обе пары соответствующих лучей сонаправлены. Один угол равен 47°. Найдём второй угол. Условие о направлениях сразу показывает, что здесь нужно использовать случай равных углов, а не складывать меры до 180°.

1. Установим, что соответствующие лучи обеих пар направлены одинаково.
2. По правилу для таких углов запишем: второй угол равен первому.
3. Подставим известную меру: 47°.

Ответ: второй угол равен 47°. Проверка проста: по условию обе пары лучей сонаправлены, поэтому одинаковыми должны быть и градусные меры. Если бы у одной пары направление было противоположным, потребовалось бы другое правило.

Задача 2

У углов соответственно параллельны стороны; одна пара соответствующих лучей сонаправлена, а другая направлена противоположно. Один угол равен 128°. Нужно найти второй. Поскольку направления различаются только в одной паре, углы дополнительные до 180°, а значит, их меры в сумме составляют 180°.

1. Запишем соотношение для дополнительных углов: 128° + второй угол = 180°.
2. Чтобы найти неизвестную меру, вычтем известную: 180° − 128° = 52°.
3. Проверим сумму: 128° + 52° = 180°.

Ответ: второй угол равен 52°. Проверка подтверждает, что найденные меры соответствуют случаю с одной противоположно направленной парой лучей. Приравнивать углы в этой задаче было бы неверно.

Задача 3

У углов соответственно параллельны стороны, причём одна пара соответствующих лучей сонаправлена, а другая противоположно направлена. Их градусные меры равны 2x + 20° и 4x + 10°. Найдём x и оба угла. Указанные направления означают, что углы дополнительные, поэтому выражения для их мер нужно сложить и приравнять к 180°.

1. Составим уравнение: (2x + 20°) + (4x + 10°) = 180°.
2. Сложим подобные слагаемые: 6x + 30° = 180°.
3. Вычтем 30°: 6x = 150°, поэтому x = 25.
4. Вычислим меры углов: 2 · 25 + 20 = 70°, а 4 · 25 + 10 = 110°.
5. Проверим: 70° + 110° = 180°.

Ответ: x = 25; углы равны 70° и 110°. Проверка подтверждает не только вычисления, но и соответствие условию о дополнительных углах. Обе меры положительны, а их сумма равна 180°.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что углы с соответственно параллельными сторонами всегда равны. Её допускают, потому что запоминают только вариант с одинаково направленными лучами. Но при противоположном направлении одной пары углы складываются до 180°. Проверь каждую пару лучей, прежде чем записывать равенство.

Вторая ошибка — выбирать между равенством и суммой 180° только по виду чертежа. Рисунок может быть выполнен не в масштабе, а лучи на нём легко перепутать. Сопоставь стороны по параллельности и мысленно продолжи лучи в их направлениях. Так решение будет опираться на условие, а не на впечатление.

Третья ошибка — путать параллельность прямых с сонаправленностью лучей. На одной паре параллельных прямых лучи могут смотреть в одну сторону или навстречу друг другу. Поэтому отметь направление каждого соответствующего луча отдельно. Если лучи направлены противоположно, не называй их сонаправленными только из-за параллельности прямых.

Четвёртая ошибка — в случае дополнительных углов складывать меры до 90°. Число 90° связано с прямым углом, тогда как дополнительными до развёрнутого угла являются меры с суммой 180°. Перед вычислениями выпиши нужное соотношение: равные углы имеют одинаковую меру, дополнительные дают 180°. В конце проверь сумму, особенно если решал задачу уравнением.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое угол, как измеряют его градусную меру и какие лучи называют параллельными. Пригодится и понимание развёрнутого угла: его градусная мера равна 180°. Эти знания позволяют перейти от направления сторон к числовому соотношению между углами.

Правило используют в задачах с параллельными прямыми, чтобы находить неизвестные углы и обосновывать, почему они равны или в сумме дают 180°. Оно помогает не ограничиваться измерением по чертежу: нужное соотношение можно вывести из условия о параллельности и направлениях лучей. Затем найденную меру проверяют по соответствующему правилу.

Что запомнить

• Проверь, параллельны ли стороны углов попарно.
• Учитывай направления лучей, а не только параллельность содержащих их прямых.
• Если обе пары соответствующих лучей сонаправлены, углы равны.
• Если обе пары соответствующих лучей противоположно направлены, углы равны.
• Если направления одной пары лучей противоположны, углы в сумме дают 180°.
• В любом случае углы с соответственно параллельными сторонами равны или дополнительны до 180°.