"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Аксиома параллельных прямых утверждает: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную ей. Это утверждение принимают без доказательства и используют, чтобы рассуждать о расположении прямых и углах, образованных секущей. Слово «ровно» означает и существование такой прямой, и её единственность. Поэтому аксиома помогает доказывать, что прямые параллельны или совпадают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Запись a ∥ b читают так: «прямая a параллельна прямой b». Уточнение об одной плоскости важно: в школьной геометрии параллельность рассматривают именно для прямых, лежащих в одной плоскости.
Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Например, если прямая c пересекает a и b, она помогает сравнивать углы, которые возникают около этих пересечений. Так изучают взаимное расположение прямых.
Аксиома параллельных прямых утверждает: через точку вне данной прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной. Аксиомой называют утверждение, принимаемое без доказательства. Оно становится основой для дальнейших рассуждений о прямых и углах.
Точка вне прямой — точка плоскости, которая этой прямой не принадлежит. Именно такая точка нужна в формулировке аксиомы: она задаёт место, через которое следует провести параллельную прямую. Если точка лежит на исходной прямой, речь идёт уже о другой ситуации.
В формулировке аксиомы участвуют и прямая, и точка вне неё, потому что нужно задать, чему должна быть параллельна новая прямая и через какое место она должна пройти. Без исходной прямой нельзя определить требуемое направление, а без точки нельзя задать условие прохождения. Таким образом, эти данные вместе определяют задачу построения.
Слово «ровно» включает два утверждения. Во-первых, через заданную точку можно провести прямую, не пересекающую данную. Во-вторых, второй отличной от неё прямой с тем же свойством не существует. Поэтому нельзя заменить «ровно одна» словами «хотя бы одна»: это потеряло бы важное условие единственности.
На схеме можно обозначить исходную прямую a и точку A над ней, не принадлежащую a, а через A провести прямую b, не пересекающую a. Тогда b ∥ a. Прямая через A, которая наклонена иначе, пересечёт a, если продолжить её в обе стороны. Поэтому она не подходит, даже если на коротком рисунке место пересечения не показано.
Когда две прямые пересечены секущей, у каждого пересечения образуются углы. Аксиома позволяет доказывать свойства такого расположения: если нужные углы равны, можно установить, что прямые параллельны, а затем использовать единственность параллельной. Так из утверждения о прямой через точку получают выводы для конфигурации из двух прямых и секущей.
Если уже изучен признак параллельности по накрест лежащим углам, равенство именно этой пары позволяет заключить, что прямые параллельны. Накрест лежащие углы расположены между двумя прямыми и по разные стороны секущей. Сначала определяют их положение, затем проверяют равенство и только после этого применяют признак. Равенства произвольных углов для такого вывода недостаточно.
| Ситуация | Условие или утверждение | Что можно заключить |
|---|---|---|
| Точка вне прямой | Через точку проводится прямая, не пересекающая данную | Такая прямая единственная |
| Две параллельные прямые пересечены секущей | Накрест лежащие углы равны | Прямые параллельны |
Читайте таблицу слева направо: сначала определите ситуацию, затем проверьте условие и используйте вывод. Во второй строке равенство углов даёт вывод о параллельности, если признак по накрест лежащим углам уже изучен. В первой строке речь идёт о существовании единственной параллельной через заданную точку.
Дана прямая a и точка A вне неё. Сколько прямых, проходящих через A и параллельных a, можно провести? Нужно определить не просто наличие подходящей прямой, но и число таких прямых. Это прямо связано со словом «ровно» в аксиоме.
Ответ: одну прямую.
Через точку вне прямой проведены две прямые, каждая из которых параллельна данной. Что можно сказать об этих двух прямых? На первый взгляд их может показаться две разные, но обе проходят через одну точку и имеют одно и то же условие параллельности. Нужно применить единственность из аксиомы.
Ответ: прямые b и c совпадают.
При пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны. Докажите, что прямые параллельны. Здесь важно не подменить нужную пару углов любой другой равной парой. Будем считать, что признак параллельности по накрест лежащим углам уже изучен.
Ответ: a ∥ b. Доказательство опирается на признак; равенство других пар углов само по себе не заменяет его условие.
Ошибка: считать, что параллельные прямые не пересекаются только на видимой части чертежа, но могут пересечься за её пределами. Так думают, потому что рисунок показывает лишь небольшой участок прямых. Определение относится ко всей плоскости, а прямые мысленно продолжают в обе стороны. Проверяйте, не принимаетесь ли вы за границу листа как за конец прямой.
Ошибка: говорить, что через точку вне прямой проходит хотя бы одна параллельная, и забывать об единственности. Это случается, когда замечают только возможность провести прямую, но не учитывают слово «ровно». В формулировке аксиомы есть и существование, и единственность. Сверьте свой вывод с обоими частями утверждения.
Ошибка: путать параллельные и совпадающие прямые. На рисунке они могут выглядеть как одна линия, поэтому легко решить, что это одно и то же. Но параллельные не имеют общих точек, а совпадающие имеют все точки общей прямой. Проверяйте, различны ли прямые, а не только как они изображены.
Ошибка: делать вывод о параллельности по равенству любых двух углов. Равные углы могут занимать не то положение, которое требуется в признаке. Сначала найдите секущую и установите, какие именно углы сравниваются; затем проверьте, что они накрест лежащие. Только при выполнении нужного условия применяйте признак.
Для работы с аксиомой нужно знать, что такое параллельные прямые, и уметь находить углы при пересечении прямых секущей. Также пригодятся свойства равных углов и умение различать их положение на чертеже. Новая тема соединяет эти знания: по расположению и равенству углов можно получить вывод о прямых.
Аксиома и связанные с ней признаки понадобятся при доказательстве свойств углов и параллельности. Они помогают и в задачах на построение: нужно провести через заданную точку прямую с требуемым свойством. При решении полезно каждый раз отделять данное условие от вывода, который разрешает сделать аксиома или признак.
Что означает слово «аксиома»?
Аксиома — утверждение, которое принимают без доказательства. На его основе доказывают другие свойства и теоремы.
Почему через точку вне прямой проходит только одна параллельная?
Так утверждает аксиома параллельных прямых. Существование параллельной и её единственность входят в формулировку аксиомы, поэтому вторую отличную от неё параллельную провести нельзя.
Можно ли провести параллельную прямую через точку, лежащую на данной прямой?
Нет, если речь идёт о другой прямой, параллельной данной: она должна не иметь с ней общих точек. Через точку, лежащую на данной прямой, можно провести именно эту прямую, но она совпадает с ней, а не является параллельной.
Чем параллельные прямые отличаются от совпадающих?
Параллельные прямые не имеют общих точек. Совпадающие прямые — это одна и та же прямая, поэтому у них общих точек бесконечно много.
Как равенство углов помогает доказать параллельность прямых?
Если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, по признаку параллельности прямых эти прямые параллельны. Перед выводом нужно убедиться, что сравниваются именно накрест лежащие углы.
3.3 Аксиома параллельных прямых
