"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Параллельными называют прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Аксиома параллельных прямых утверждает: через точку вне данной прямой можно провести ровно одну параллельную ей прямую. Это правило помогает не только строить параллельные прямые, но и доказывать их параллельность по углам. Если две параллельные прямые пересечены секущей, внутренние односторонние углы в сумме дают 180°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — это прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Их записывают так: a ∥ b, то есть «прямая a параллельна прямой b». Условие об одной плоскости обязательно: оно отличает параллельные прямые от прямых в пространстве, которые не пересекаются, но не лежат в одной плоскости.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. В каждом месте пересечения образуются четыре угла, поэтому всего их восемь. Чтобы обсуждать связь этих углов с параллельностью, сначала определяют, какие из них лежат между прямыми и по какую сторону секущей.
Аксиома параллельных прямых гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной. Аксиома — это исходное утверждение, которое принимают без доказательства. Она нужна, чтобы строить параллельные прямые и обосновывать их свойства.
Внутренние односторонние углы лежат между двумя прямыми и по одну сторону от секущей. У каждой стороны секущей есть такая пара — по одному углу у каждого пересечения. По их величинам можно проверить параллельность прямых или найти неизвестный угол.
Две прямые на плоскости либо пересекаются, либо не пересекаются. Во втором случае их называют параллельными, но важно, что речь идёт именно об одной плоскости: в пространстве две прямые могут не встретиться и при этом располагаться по-разному. Поэтому на рисунке отсутствие пересечения ещё не доказывает параллельность, если расположение прямых не задано.
Аксиома связывает заданную прямую с точкой вне неё: через эту точку можно провести параллельную, и провести её можно только одним способом. Единственность нужна, чтобы результат построения был определённым, а не зависел от выбора чертёжника. Если точка лежит на самой прямой, условие аксиомы не выполняется: эта точка не находится вне прямой.
Когда секущая пересекает параллельные прямые, внутренние односторонние углы дополняют друг друга до развёрнутого угла, то есть до 180°. Это можно понять, сравнив один из них с углом при другом пересечении: параллельность даёт равные углы, а смежные углы вместе составляют 180°. Поэтому для таких углов получается сумма 180°, а не равенство.
Есть и обратное рассуждение: если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то пересечённые прямые параллельны. Если бы прямые не были параллельны, они пересеклись бы, а полученное соотношение углов не соответствовало бы этому расположению. Это признак параллельности: он позволяет сделать вывод о прямых по измерениям углов.
Пусть две прямые параллельны одной и той же прямой. Проведём секущую через точки их пересечения: углы, соответствующие одному и тому же положению, равны, поскольку каждая из двух прямых параллельна третьей. Значит, для двух рассматриваемых прямых внутренние односторонние углы в сумме дают 180°. По обратному признаку эти прямые параллельны между собой.
| Условие или положение | Вывод |
|---|---|
| Через точку вне прямой проводят параллельную ей прямую — такая прямая единственная | Это следует из аксиомы параллельных прямых |
| Две параллельные прямые пересечены секущей | Сумма внутренних односторонних углов равна 180° |
| Сумма внутренних односторонних углов равна 180° | Прямые параллельны |
| Две прямые параллельны одной и той же прямой | Они параллельны между собой |
Таблица помогает выбрать направление рассуждения: от параллельности к углам или от суммы углов к параллельности. Сначала определи, что дано в задаче, а затем используй соответствующую строку. Для аксиомы проверь, что точка находится вне заданной прямой.
Через точку A, не лежащую на прямой a, проведите прямую, параллельную a. Сколько таких прямых можно провести? Здесь важно не измерять направление на глаз, а применить утверждение о единственности построения. По аксиоме через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая.
Ответ: можно провести одну такую прямую.
Параллельные прямые пересечены секущей, один из внутренних односторонних углов равен 68°. Найди второй. Так как прямые параллельны, применяем свойство внутренних односторонних углов: их сумма равна 180°. Вычтем известную величину из этой суммы.
Ответ: второй угол равен 112°. Проверка: 112° + 68° = 180°, значит, условие о сумме выполнено.
При пересечении двух прямых секущей внутренние односторонние углы равны 3x + 15° и 5x + 5°. Найди x и определи, параллельны ли прямые. Само наличие секущей ещё не означает, что прямые параллельны: нужно проверить соотношение углов. Для параллельности их сумма должна быть 180°.
Ответ: x = 20, прямые параллельны по признаку параллельности. Проверка суммы показывает, что нужное условие выполнено.
Нельзя применять аксиому к точке на данной прямой: она говорит о точке вне прямой. Ошибка возникает, если пропустить условие задачи и сосредоточиться только на слове «точка». Проверь себя: точка действительно не принадлежит заданной прямой?
Внутренние односторонние углы не равны в общем случае, а дают в сумме 180°. Их путают с накрест лежащими углами, для которых при параллельных прямых используют равенство. Проверь положение углов: оба должны быть между прямыми и по одну сторону секущей.
Нельзя доказывать параллельность по одному углу: нужен второй угол и проверка нужного соотношения. Часто известную величину сравнивают не с тем углом или забывают найти сумму. Проверь, что выбрана пара внутренних односторонних углов и её сумма равна 180°.
Если прямые не пересекаются на рисунке, это ещё не доказывает, что они параллельны. Чертёж может показывать лишь часть прямых, а в пространстве они могут не лежать в одной плоскости. Проверь, указано ли, что прямые компланарны, то есть лежат в одной плоскости.
До изучения параллельных прямых нужно уметь распознавать углы, возникающие при пересечении двух прямых секущей. В частности, важно находить внутренние односторонние углы: их положение определяет, какое соотношение применять. Если перепутать эту пару с накрест лежащими углами, можно выбрать неверный признак.
Аксиома и признаки параллельности помогают доказывать свойства углов треугольника и решать задачи, где несколько прямых пересечены секущей. В таких задачах сначала устанавливают параллельность или находят углы, а затем используют полученный результат в дальнейших рассуждениях. Поэтому умение обосновать каждый шаг важнее, чем просто узнать параллельные прямые по чертежу.
Что означает аксиома параллельных прямых?
Через точку, которая не лежит на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной. Аксиома утверждает и существование такой прямой, и её единственность.
Почему через точку вне прямой можно провести только одну параллельную?
Это утверждение принимают в геометрии как аксиому — исходное правило, которое не доказывают. Именно оно позволяет однозначно строить параллельную прямую через точку вне заданной.
Как найти второй внутренний односторонний угол, если прямые параллельны?
Вычти известный угол из 180°, потому что внутренние односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°. Например, если один угол равен 68°, второй равен 112°.
Как по углам при секущей доказать, что две прямые параллельны?
Найди внутренние односторонние углы и проверь их сумму. Если она равна 180°, то по признаку параллельности прямые параллельны.
Параллельны ли две прямые, если на рисунке они не пересекаются?
По одному рисунку это установить нельзя: прямые могут просто не пересечься в пределах листа или находиться в разных плоскостях. Для параллельности нужно знать, что прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
§ 2. Аксиома параллельных прямых
