26. Практические способы построения параллельных прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. На чертеже их часто обозначают как a ∥ b. При практическом построении нужно сохранить общее направление прямых: иначе линии могут сойтись при продолжении.

Чертёжный угольник — инструмент с прямым углом, который помогает задавать направление и переносить угол. Его прикладывают к исходной прямой, чтобы выбрать сторону с нужным наклоном. Угольник нужен не только для проведения перпендикуляров: с его помощью можно получить и параллельную прямую.

Рейсшина — линейка с направляющей планкой, по которой инструмент движется, не поворачиваясь. Благодаря этому рейсшина позволяет проводить несколько прямых одного направления. Такой инструмент удобен, когда на чертеже нужно много параллельных линий.

Построение параллельной прямой — проведение через заданную точку прямой, параллельной данной, с помощью чертёжных инструментов. Точка обычно расположена вне исходной прямой. Это построение позволяет получить точное направление, а не просто нарисовать линию, которая кажется параллельной.

Как это устроено

Параллельность можно проверить по углам, образованным двумя прямыми и секущей — прямой, которая пересекает обе линии. Если соответствующие углы равны, прямые параллельны; то же верно для равных накрест лежащих углов. Поэтому при построении важно не просто провести похожую линию, а перенести угол, который исходная прямая образует с выбранным направлением.

Чтобы провести параллель к прямой a через точку M, приложите сторону угольника к прямой a и совместите его с линейкой. Затем передвигайте угольник вдоль линейки, пока нужная сторона не пройдёт через M. Проведите линию по этой стороне: её направление будет таким же, как у прямой a, а значит, соответствующие углы при пересечении секущей окажутся равными.

Линейка нужна как опора, потому что без неё угольник можно случайно повернуть. При движении вдоль линейки одна сторона угольника скользит по опоре, а угол между этой стороной и рабочей стороной остаётся неизменным. Поэтому и направление рабочей стороны не меняется относительно исходной прямой. Сдвиг сохраняет положение угольника, поворот — нет.

Рейсшина устроена так, что направляющая планка удерживает её в одном направлении. Приложите её к краю чертёжной доски или другой опоре и перемещайте, не меняя положения планки. Линии, проведённые по рабочему краю рейсшины в разных местах, будут параллельны. Это особенно удобно для построения сетки или нескольких линий с одинаковым наклоном.

Проверьте результат по углам: проведите секущую и сравните соответствующие или накрест лежащие углы. Если выбранный способ выполнен правильно, такие углы равны, поэтому по признаку параллельности прямые параллельны. На рисунке можно продолжить линии и посмотреть, пересекутся ли они, но этот способ даёт лишь визуальную оценку: на коротком чертеже небольшое отклонение трудно заметить.

Практические способы построения параллельных прямых

Сравните два способа и выбирайте подходящий по инструментам и числу линий. Угольник с линейкой удобен для переноса направления через отдельную точку, а рейсшина — для проведения многих линий в одном направлении. В обоих случаях надёжность зависит от того, сохраняют ли инструменты своё положение при перемещении.

Сначала найдите строку с нужным действием, а затем сравните, как его выполняют двумя способами. Если требуется провести несколько прямых, обратите внимание на сохранение направления при повторном перемещении инструмента. Проверку по углам можно использовать в обоих случаях.

Разбор задач

Задача 1

Дана прямая a и точка M вне неё. Постройте через точку M прямую, параллельную прямой a, используя угольник и линейку. Нужно перенести направление a, не поворачивая угольник: для этого линейка будет служить опорой. После построения можно проверить равенство соответствующих углов.

1. Приложите одну сторону угольника к прямой a, а линейку — к другой стороне угольника, чтобы она удерживала его положение.
2. Не сдвигая линейку, перемещайте угольник вдоль неё, пока выбранная сторона не пройдёт через точку M.
3. Проведите по этой стороне прямую b через M, затем проверьте равенство соответствующих углов при пересечении прямых a и b секущей.

Ответ: прямая b, проведённая через M по стороне угольника, параллельна a, потому что при переносе направление стороны сохранилось.

Задача 2

Через две заданные точки проведите прямую, параллельную стороне AB данного треугольника, и объясните, почему построенная прямая параллельна AB. Сначала обозначим точки как P и Q: через них проходит только одна прямая PQ. Поэтому выполнить условие можно лишь тогда, когда направление PQ совпадает с направлением AB; если точки расположены иначе, провести через обе точки параллельную AB невозможно.

1. Приложите сторону угольника к AB и с помощью линейки перенесите это направление к точке P.
2. Проверьте, лежит ли точка Q на полученной прямой. Если лежит, проведите через P и Q прямую по стороне угольника.
3. Обозначьте секущую, пересекающую AB и PQ, и сравните образованные ею соответствующие углы: при правильном переносе они равны.

Ответ: если P и Q лежат на одной прямой нужного направления, PQ ∥ AB по равенству соответствующих углов. Если Q не лежит на построенной через P параллели, условие с обеими точками выполнить нельзя.

Задача 3

Постройте через точки M и N две прямые, параллельные данной прямой a, а затем определите, параллельны ли они друг другу. Здесь нужно дважды перенести одно и то же направление a, сохраняя настройку инструмента. Связь между полученными прямыми следует обосновать свойством параллельных прямых, а не только их видом.

1. Приложите угольник к прямой a и зафиксируйте его положение линейкой либо возьмите рейсшину, установленную в направлении a.
2. Переместите инструмент до точки M и проведите прямую b; затем таким же способом перенесите его до N и проведите прямую c.
3. Убедитесь, что b ∥ a и c ∥ a: например, проверьте соответствующие углы. Поскольку обе прямые параллельны одной прямой, они параллельны между собой.

Ответ: b ∥ c. Это следует из свойства: две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.

Типичные ошибки

Если сдвинуть угольник без опоры на линейку, он может незаметно повернуться. Так происходит, потому что рука перемещает инструмент не строго в одном направлении. Проверьте, что линейка остаётся на месте и угольник скользит вдоль неё, не меняя угла.

Линия, проведённая не по стороне угольника или рейсшины, может получить другое направление. Это случается, когда карандаш наклоняют в сторону или ведут на расстоянии от края. Проверьте, соприкасается ли карандаш с выбранной стороной инструмента на всём протяжении линии.

Некоторые принимают перпендикуляр за параллель и используют сторону угольника, которая образует с исходной прямой прямой угол. Причина ошибки — у угольника несколько сторон и их легко перепутать. Перед проведением линии определите, какая сторона повторяет направление прямой, а какая даёт направление под углом 90°.

Нельзя считать две линии параллельными только потому, что на небольшом рисунке они не пересекаются. Их продолжения могут встретиться далеко за пределами чертежа, особенно если есть небольшой наклон. Проверьте способ построения или равенство соответствующих либо накрест лежащих углов.

Связь с другими темами

Для построения нужно знать определение параллельных прямых, виды углов при пересечении прямых и признаки параллельности: именно они объясняют, почему перенос направления работает. Угольник используют и при построении перпендикулярных прямых, но там выбирают сторону, образующую угол 90°. Параллельные линии помогают строить и исследовать параллелограммы и трапеции, проводить высоты и выполнять точные геометрические чертежи.

Что запомнить

• Через точку, не лежащую на прямой, строят прямую, параллельную данной.
• Угольник и линейка позволяют перенести направление исходной прямой.
• При правильном построении соответствующие углы равны.
• Рейсшина сохраняет направление при перемещении.
• Все прямые, построенные параллельно одной прямой, параллельны друг другу.
• Надёжность построения подтверждают свойством углов, а не только видом рисунка.