"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Две прямые параллельны, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Чтобы доказать параллельность на чертеже, часто достаточно изучить углы, которые образуются, когда прямые пересекает секущая. Равенство накрест лежащих или соответственных углов, а также сумма односторонних углов 180° позволяют сделать такой вывод. Эти правила называют признаками параллельности. Они помогают не только доказывать утверждения, но и находить неизвестные углы и решать задачи с выражениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. У каждой точки пересечения образуются четыре угла, а вместе они составляют пары накрест лежащих, соответственных и односторонних углов. Положение этих углов относительно секущей и двух прямых помогает понять, какое условие нужно для доказательства параллельности.
Накрест лежащие углы находятся внутри полосы между двумя прямыми и по разные стороны секущей. На чертеже они словно расположены «наискосок» друг от друга, если смотреть на обе точки пересечения. Эта пара важна потому, что при равенстве накрест лежащих углов можно заключить: прямые параллельны.
Соответственные углы занимают одинаковое положение относительно секущей и каждой из пересекаемых прямых. Например, оба могут быть расположены сверху от секущей и справа от прямой у своих точек пересечения. Если такие углы равны, это тоже позволяет доказать параллельность прямых.
Односторонние углы лежат внутри полосы между прямыми и по одну сторону секущей. Их не нужно сравнивать на равенство: для признака параллельности складывают величины этой пары и проверяют, равна ли сумма 180°. Поэтому важно сначала правильно определить положение обоих углов.
Представь две прямые, которые пересекает третья прямая — секущая. В каждой из двух точек пересечения появляются четыре угла, всего их восемь. Чтобы различать нужные пары, сначала мысленно отметь внутреннюю полосу между прямыми, а затем посмотри, по какую сторону секущей расположен каждый угол. Так можно выбрать условие, подходящее для доказательства.
Почему равенство накрест лежащих углов доказывает параллельность? Пусть через точку на одной прямой проведена прямая, параллельная другой. При пересечении этой параллельной пары секущей образуются равные накрест лежащие углы. Если исходные накрест лежащие углы тоже равны, то прямая, проведённая через точку, должна совпасть с исходной: через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Значит, исходные прямые параллельны.
Признак по соответственным углам можно вывести из признака по накрест лежащим. У соответствующих углов есть вертикальные углы — углы, лежащие друг напротив друга при пересечении прямых; они равны. Поэтому равенство соответственных углов даёт равенство одной из подходящих пар накрест лежащих углов. По уже установленному признаку исходные прямые параллельны.
Для односторонних углов действует другое условие: их сумма должна составлять 180°. Один из этих углов и угол, смежный со вторым, образуют пару накрест лежащих углов. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому при сумме односторонних углов 180° выбранные накрест лежащие углы равны. Тогда срабатывает признак по накрест лежащим углам, и прямые параллельны.
Каждый признак обращает направление рассуждения. Свойства параллельных прямых говорят, какие углы равны или какую сумму имеют, если параллельность уже известна. Признаки начинают с условия об углах и позволяют доказать, что прямые параллельны. Это различие помогает не перепутать, что именно дано в задаче, а что требуется получить.
| Вид углов | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| Накрест лежащие углы | Накрест лежащие углы равны | Две прямые параллельны |
| Соответственные углы | Соответственные углы равны | Две прямые параллельны |
| Односторонние углы | Сумма односторонних углов равна 180° | Две прямые параллельны |
Пользуйся таблицей после того, как определишь на чертеже вид пары углов. Для накрест лежащих и соответственных проверяй равенство, а для односторонних — сумму 180°. В выводе назови применённый признак, а не просто сообщай, что прямые параллельны.
Задача 1. При пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны 68°. Можно ли заключить, что прямые параллельны?
Ответ: да, прямые параллельны. Здесь важно не только совпадение чисел 68°, но и то, что равными оказались именно накрест лежащие углы.
Задача 2. Один из соответственных углов равен 112°, а второй — 112°. Докажите, что две прямые параллельны.
Ответ: прямые параллельны. Если бы были известны лишь два угла по 112°, без указания их взаимного расположения, этого вывода сделать было бы нельзя.
Задача 3. Секущая образует с двумя прямыми односторонние углы 3x + 10° и 5x − 6°. Найдите x и докажите параллельность прямых.
Ответ: x = 22, прямые параллельны. Проверка полученных значений подтверждает, что условие признака выполнено.
Накрест лежащие и односторонние углы путают, если не следить за тем, по одну или по разные стороны секущей расположены углы. Оба вида находятся внутри полосы между прямыми, поэтому одной этой детали недостаточно. Проверь стороны секущей: разные стороны — накрест лежащие, одна сторона — односторонние.
Иногда равенство любых двух углов считают достаточным для параллельности. Но равными могут быть, например, вертикальные углы при пересечении всего одной пары прямых, и это ничего не говорит о второй прямой. Перед выводом назови вид углов и убедись, что для этой пары есть подходящий признак.
Для односторонних углов ошибочно проверяют равенство вместо суммы 180°. Такое условие не соответствует признаку: равные односторонние углы могут иметь значения 90° и 90°, а могут быть и не равными при сумме 180°. Проверь себя сложением величин и не подменяй сумму другим условием.
Вывод о параллельности иногда записывают без указания признака и названий углов. Тогда непонятно, откуда он следует и правильно ли выбраны углы на чертеже. В решении сначала назови пару, затем укажи равенство или сумму 180° и только после этого сформулируй вывод.
Перед этой темой нужно уметь распознавать пары углов при пересечении двух прямых секущей, а также знать смежные и вертикальные углы. Полезно помнить и свойства углов, образованных секущей с параллельными прямыми: признаки используют те же пары, но помогают доказать параллельность, а не вывести свойства из неё.
Признаки пригодятся при доказательствах на чертежах и в задачах, где по нескольким углам нужно установить расположение прямых. Если величины углов выражены через переменную, сначала составляют уравнение по условию признака, а затем используют найденные значения для доказательства.
Дальше признаки можно применять при доказательстве свойств параллельных прямых и в задачах на геометрические построения. Умение замечать нужные пары углов помогает обосновывать построение и проверять, действительно ли полученные прямые параллельны.
Как быстро отличить накрест лежащие углы от соответственных?
Сначала найди секущую и внутреннюю полосу между двумя прямыми. Накрест лежащие углы находятся внутри полосы по разные стороны секущей. Соответственные занимают одинаковое положение у двух точек пересечения: например, оба расположены сверху от секущей и справа от своей прямой.
Почему для односторонних углов нужна сумма 180°, а не равенство?
При параллельных прямых односторонние углы являются внутренними углами с одной стороны секущей, и их сумма равна 180°. Равенство для этой пары не является признаком параллельности: односторонние углы могут быть, например, 90° и 90°, но могут быть и 70° и 110°.
Можно ли доказать параллельность по вертикальным углам?
Одного равенства вертикальных углов недостаточно: вертикальные углы равны всегда, когда пересекаются две прямые. Но иногда с их помощью можно найти величину угла, который входит в одну из нужных пар, а затем применить признак параллельности.
Что делать, если нужные углы не даны напрямую, а выражены через x?
Определи, какую пару углов можно использовать, и запиши нужное условие: равенство углов или сумму 180°. Подставь выражения, реши уравнение, а затем объясни, какие углы получились и какой признак позволяет сделать вывод.
Нужно ли каждый раз доказывать признак параллельности или достаточно на него сослаться?
Если признак уже изучен, в обычной задаче достаточно сослаться на него. Но укажи, какие именно углы сравниваются, и назови условие: например, накрест лежащие углы равны. Так будет понятно, почему вывод о параллельности верен.
25. Признаки параллельности двух прямых
