"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Параллельность помогает описывать взаимное расположение прямых и частей прямых. На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо не имеют общих точек; во втором случае они параллельны. Для такого вывода важно, чтобы прямые лежали в одной плоскости. Отрезки и лучи называют параллельными не по их длине или направлению на рисунке, а по прямым, на которых они расположены.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Две прямые называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Значит, у них нет общих точек. Условие об одной плоскости помогает отличить параллельные прямые от прямых в пространстве, которые не пересекаются, но расположены по-разному.
Параллельность прямых записывают с помощью знака ∥: например, a ∥ b. Эту запись читают так: «прямая a параллельна прямой b». Знак показывает взаимное расположение прямых, а не их равенство или пересечение.
Отрезки называют параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Чтобы проверить это, нужно мысленно продолжить прямые, содержащие отрезки, и определить, пересекаются ли они. Сами отрезки могут быть разной длины и не обязаны располагаться рядом.
Лучи называют параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Поэтому для проверки рассматривают прямые, которым принадлежат лучи, а не только направления или конечные части лучей. Это определение позволяет говорить о параллельности, даже если лучи имеют разные начала.
Условие «лежат в одной плоскости» нужно потому, что в пространстве недостаточно проверить только отсутствие общих точек. Например, две прямые могут находиться на разных стенах комнаты: они не пересекаются, но и не лежат в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися, а не параллельными. Поэтому плоскость — обязательная часть определения.
На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. Если у них есть общая точка, они пересекаются; если общей точки нет, при условии, что прямые различны, они параллельны. Других вариантов для двух различных прямых на плоскости нет. Это правило удобно применять, когда нужно определить взаимное расположение прямых.
Совпадающие прямые не относят к параллельным по этому определению, поскольку они не являются двумя прямыми без общих точек. Если прямые совпадают, любая точка одной принадлежит другой, то есть общих точек бесконечно много. Это отличается и от пересечения в одной точке, и от параллельности без общих точек. Поэтому перед выводом нужно убедиться, что прямые различны.
У отрезка и луча есть прямая, на которой они лежат: её можно представить как продолжение соответствующей части в обе стороны. Параллельность таких объектов определяют по содержащим их прямым, потому что короткие части сами по себе могут не дотягиваться до места пересечения этих прямых. Так, лучи на пересекающихся прямых не параллельны, даже если сами лучи не встречаются. Общая точка прямых будет общей точкой лучей лишь тогда, когда она принадлежит обоим лучам.
| Объекты | Условие параллельности | Как проверить |
|---|---|---|
| Две прямые | Различные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. | Убедиться, что прямые в одной плоскости, и проверить, пересекаются ли они. |
| Два отрезка | Отрезки лежат на параллельных прямых. | Продолжить прямые, содержащие отрезки, и сравнить их взаимное расположение. |
| Два луча | Лучи лежат на параллельных прямых. | Определить, параллельны ли прямые, на которых лежат лучи. |
| Общие точки параллельных объектов | Параллельные прямые не имеют общих точек; их отрезки и лучи также не пересекаются. | Сначала проверить параллельность содержащих прямых, затем учесть, что части принадлежат этим прямым. |
Пользуйся таблицей в таком порядке: сначала определи, что именно сравниваешь — прямые, отрезки или лучи. Для частей прямых найди прямые, на которых они лежат, и проверь параллельность этих прямых. Общие точки отрезков и лучей могут быть только общими точками содержащих их прямых.
Условие: прямые a и b лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Нужно определить их взаимное расположение и записать результат. Здесь все условия определения уже даны, поэтому достаточно сопоставить их с определением параллельности. Отдельно искать точку пересечения не требуется.
Ответ: a ∥ b. Вывод основан на обоих условиях определения, а не только на отсутствии пересечения.
Условие: отрезок AB лежит на прямой a, отрезок CD — на прямой b, причём a ∥ b. Нужно определить, параллельны ли отрезки. Длина отрезков и расстояние между их концами в условии не важны. Решение зависит от того, какие прямые их содержат.
Ответ: отрезки AB и CD параллельны. Даже если один отрезок короче другого или расположен не напротив него, вывод остаётся тем же.
Условие: луч OA лежит на прямой a, луч BC — на прямой b, а прямые пересекаются в точке P. Нужно выяснить, может ли P быть общей точкой лучей, и параллельны ли лучи. Прямые пересекаются, но лучи составляют лишь части этих прямых. Поэтому принадлежность точки P лучам нужно проверять отдельно.
Ответ: P может быть общей точкой лучей, если принадлежит каждому из них, но это не следует только из пересечения прямых. Лучи не параллельны, поскольку их содержащие прямые пересекаются.
Ошибка — считать параллельными любые непересекающиеся прямые. Так бывает, если забыть, что определение относится к прямым в одной плоскости; в пространстве непересекающиеся прямые могут быть скрещивающимися. Перед выводом проверь, лежат ли они в одной плоскости. Если это не указано и речь идёт о пространстве, одного отсутствия общей точки недостаточно.
Ошибка — считать совпадающие прямые параллельными. Их легко принять за параллельные, если воспринимать условие «не пересекаются» как «не пересекаются в одной точке». Но совпадающие прямые имеют бесконечно много общих точек. Проверь, различны ли прямые: если они полностью накладываются друг на друга, по данному определению они не параллельны.
Ошибка — решать, параллельны ли отрезки или лучи, только по их виду на рисунке. Рисунок может быть неточным, а конечные части объектов не показывают, пересекутся ли прямые при продолжении. Нужно определить прямые, на которых лежат эти объекты, и сравнить именно их. Такой способ избавляет от догадок по наклону или длине линий.
Ошибка — путать запись a ∥ b с пересечением или равенством прямых. Иногда знак ∥ принимают за две линии, которые сходятся, или за знак равенства. В записи речь идёт о параллельности прямых a и b, а не об их совпадении. Проверь себя: ∥ означает, что прямые в одной плоскости и не имеют общих точек.
Для работы с определением нужно знать, что такое прямая и плоскость, а также понимать, что значит пересечение прямых и общая точка. Эти понятия помогают точно проверить оба условия параллельности. Дальше определение понадобится при изучении признаков параллельности: по ним можно будет узнавать параллельные прямые через углы. Свойства углов при пересечении прямых секущей позволят решать более сложные задачи.
Могут ли параллельные прямые иметь общие точки?
Нет. По определению параллельные прямые не пересекаются и не имеют общих точек. Если у двух прямых есть общая точка, они пересекаются.
Почему в определении обязательно говорится об одной плоскости?
В пространстве две прямые могут не пересекаться, но при этом лежать в разных плоскостях. Такие прямые не называют параллельными. Условие об одной плоскости исключает этот случай.
Считаются ли совпадающие прямые параллельными?
Нет, по данному определению совпадающие прямые не являются параллельными. У них не просто нет общих точек: каждая точка одной прямой принадлежит и другой.
Как определить, параллельны ли два отрезка?
Нужно посмотреть, на каких прямых лежат отрезки. Если эти прямые параллельны, то и отрезки называют параллельными, даже если их длины различаются.
Могут ли лучи на параллельных прямых не быть параллельными?
Нет, если использовать определение из темы: лучи параллельны, когда лежат на параллельных прямых. Направления и длины лучей при этом не меняют ответа.
24. Определение параллельности прямых
