"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Две прямые на плоскости параллельны, если они не пересекаются. Чтобы доказать параллельность, удобно провести секущую и сравнить углы, которые она образует с прямыми. Равенство соответственных или накрест лежащих углов, а также сумма односторонних внутренних углов 180° служат признаками параллельности. Эти правила помогают обосновывать решения геометрических задач, а не просто угадывать положение прямых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — две прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Запись a ∥ b означает, что прямая a параллельна прямой b. Это понятие нужно, чтобы описывать взаимное положение прямых и доказывать, что они не встретятся.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. При этом образуются восемь углов: по четыре у каждой точки пересечения. Секущая помогает сравнить углы и по их величинам установить, параллельны ли исходные прямые.
Соответственные углы — пара углов, занимающих одинаковое положение у двух точек пересечения прямых с секущей. Например, оба угла расположены над секущей и справа от пересекаемой прямой. Их положение, а не величина, определяет, что углы являются соответственными.
Накрест лежащие углы находятся между двумя прямыми по разные стороны секущей. Односторонние внутренние углы также лежат между прямыми, но по одну сторону секущей. Различие важно: для первой пары проверяют равенство, а для второй — сумму углов.
Чтобы распознать пару, сначала найди две точки пересечения секущей с прямыми и область между прямыми. Соответственные углы находятся у разных пересечений и занимают одинаковое положение относительно секущей и своих прямых. Накрест лежащие и односторонние углы выбирают только среди внутренних, то есть расположенных в этой области. Первые окажутся по разные стороны секущей, вторые — по одну.
Если соответственные углы равны, прямые параллельны. Почему это так? Предположим обратное: прямые не параллельны и при продолжении пересекутся. Вместе с секущей они образуют треугольник, а равенство соответственных углов приводит к тому, что внешний угол этого треугольника равен одному из внутренних несмежных углов. Тогда внешний угол должен быть равен сумме двух внутренних несмежных углов, что невозможно: эта сумма больше каждого из них. Полученное противоречие показывает, что прямые не пересекаются.
Равенство соответственных углов можно связать с равенством накрест лежащих. Один из углов заменяют вертикальным ему: вертикальные углы равны, так как их стороны являются продолжениями сторон друг друга. После замены нужные углы оказываются между прямыми и по разные стороны секущей. Так равенство одной пары помогает установить равенство другой, не меняя величины углов.
Равенство накрест лежащих углов — не только следствие параллельности, но и признак. Если такая пара равна, вертикальные углы позволяют перейти к равенству соответственных углов. А равенство соответственных уже доказывает, что прямые параллельны. В этом и состоит логика обратного утверждения: известное свойство углов используем, чтобы установить параллельность, а не предполагаем её заранее.
Если сумма односторонних внутренних углов равна 180°, прямые также параллельны. Один из этих углов и смежный с ним угол в сумме дают 180°, поэтому односторонний угол равен этому смежному углу. Получается равенство соответственных углов, а значит, срабатывает признак параллельности. Условие о сумме здесь принципиально: сами односторонние углы не обязаны быть равными.
| Пара углов при секущей | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| Соответственные углы | Равны | Прямые параллельны |
| Накрест лежащие углы | Равны | Прямые параллельны |
| Односторонние внутренние углы | В сумме дают 180° | Прямые параллельны |
Пользуйся таблицей после того, как определил, какую именно пару углов рассматриваешь. Затем сравни условие задачи с нужной строкой: равенство подходит для соответственных и накрест лежащих углов, а сумма 180° — для односторонних внутренних. Только после этой проверки формулируй вывод о параллельности.
Задача 1. Секущая пересекает прямые a и b. Соответственные углы равны 68°. Определите, параллельны ли прямые. Нужно проверить, подходит ли данная пара под условие одного из признаков, а не ограничиваться тем, что углы равны.
Ответ: да, прямые параллельны. Здесь не требуется вычислять дополнительные углы: известное равенство уже полностью удовлетворяет признаку.
Задача 2. Накрест лежащие углы равны 3x + 12° и 5x − 24°. Найдите x и установите, параллельны ли прямые. Так как накрест лежащие углы должны быть равны при выполнении признака, приравняем их выражения.
Ответ: x = 18, прямые параллельны. Проверка найденных значений полезна: она подтверждает, что после решения уравнения условие о равенстве углов выполнено.
Задача 3. Односторонние внутренние углы равны 2x + 10° и 4x + 20°. Найдите x и докажите, что прямые параллельны. Для этой пары нельзя приравнять выражения: по признаку их сумма должна составлять 180°.
Ответ: x = 25, прямые параллельны. Значения углов могут быть разными — для этого признака достаточно, что их сумма равна 180°.
Первая ошибка — считать прямые параллельными по равенству любых двух углов. Так рассуждают, потому что запоминают слова «равные углы», но забывают, что признак относится к определённым парам, образованным секущей. Проверь себя: можешь ли ты назвать вид пары и показать её расположение? Если нет, равенство ещё не доказывает параллельность.
Вторая ошибка — путать соответственные и накрест лежащие углы. Они находятся у разных пересечений, поэтому их легко перепутать, если смотреть только на рисунок целиком. Отмечай положение каждого угла отдельно: соответственные занимают одинаковое место, а накрест лежащие находятся внутри и по разные стороны секущей. Такая проверка помогает выбрать правильный признак.
Третья ошибка — требовать равенства односторонних углов вместо суммы 180°. Её допускают, перенося условие для накрест лежащей пары на другую пару. Проверь себя: оба угла внутренние и лежат по одну сторону секущей? Тогда нужно складывать их величины, а не приравнивать.
Четвёртая ошибка — использовать следствие параллельности как доказательство. Если прямые уже параллельны, нужные соотношения углов действительно выполняются, но из этого нельзя исходить, когда параллельность ещё требуется доказать. Назови сначала обратное утверждение-признак и проверь его условие. Например, равные соответственные углы позволяют заключить, что прямые параллельны.
Для этой темы пригодятся знания о видах углов при пересечении двух прямых: вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают 180°. Эти факты помогают преобразовывать одну пару углов в другую и обосновывать признаки. Если забыть их, переход от равенства или суммы углов к параллельности будет непонятен.
Признаки нужны в задачах, где требуется доказать параллельность, в том числе без чертежа с точными измерениями. Позже свойства параллельных прямых помогут находить углы, а эти результаты пригодятся при изучении углов треугольника. Поэтому важно различать признаки, по которым параллельность доказывают, и свойства, которые из неё следуют.
Как определить, какие углы являются соответственными?
Они занимают одинаковое положение у двух точек, где секущая пересекает прямые. Например, оба угла могут быть расположены сверху от секущей и справа от своей прямой. Сравнивай положение каждого угла относительно секущей и пересекаемой прямой.
Чем накрест лежащие углы отличаются от односторонних?
Обе пары рассматривают между двумя прямыми. Накрест лежащие углы находятся по разные стороны секущей, а односторонние — по одну. Поэтому для накрест лежащих важным признаком служит равенство, а для односторонних — сумма 180°.
Достаточно ли равенства одной пары углов, чтобы доказать параллельность?
Да, если это соответствующие или накрест лежащие углы, образованные одной секущей. Равенство произвольной пары углов такого вывода не даёт. Сначала нужно точно определить вид пары.
Почему для односторонних углов важна сумма 180°, а не равенство?
Односторонние внутренние углы при параллельных прямых являются смежными по отношению к направлению секущей и в сумме дают 180°. Равенство для этой пары не является общим свойством. Поэтому признак состоит именно в том, что сумма углов равна 180°.
Как с помощью вертикальных углов доказать параллельность прямых?
Вертикальные углы равны, поэтому ими можно заменить угол в выбранной паре. Например, равенство соответственных углов можно преобразовать в равенство накрест лежащих, если один угол заменить равным ему вертикальным. Затем применяют признак параллельности для полученной пары.
§ 1. Признаки параллельности двух прямых
