§ 14. Признаки параллельности двух прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются; пишут a ∥ b. Иными словами, сколько бы далеко мы ни продолжали такие прямые, общей точки у них не появится. Это понятие нужно, чтобы описывать взаимное расположение прямых и доказывать, что стороны фигур направлены одинаково.

Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Она образует углы при обоих пересечениях, и именно их сравнивают, когда выясняют, параллельны ли две прямые. Если провести две прямые и пересечь их третьей, получится удобная схема для применения признаков.

Накрест лежащие углы — углы, расположенные между двумя прямыми по разные стороны секущей. Они находятся внутри полосы между прямыми, но секущая разделяет их по разные стороны. Название помогает быстро выбрать нужную пару углов для первого признака параллельности.

Соответственные углы — углы, занимающие одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба могут находиться над своей прямой и справа от секущей. Их удобно узнавать, сравнивая расположение у двух точек пересечения: одинаковое положение означает соответствующие углы.

Как это устроено

Когда секущая пересекает две прямые, у каждой точки пересечения образуется по четыре угла. Их можно сопоставить по тому, где они находятся: внутри или снаружи промежутка между прямыми и с какой стороны от секущей. Такое расположение даёт пары углов, отношения между которыми позволяют судить о прямых, даже если их пересечение далеко или его не видно.

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Представим обратное: прямые не параллельны и при продолжении пересекаются; вместе с частью секущей они образуют треугольник. Один из рассматриваемых углов тогда будет внешним углом этого треугольника, а другой — внутренним углом, не соседним с ним. Внешний угол треугольника больше каждого из таких внутренних углов, поэтому равенство невозможно; значит, прямые не пересекаются и параллельны.

Если соответственные углы равны, прямые тоже параллельны. Один из соответственных углов можно заменить равным ему вертикальным углом: вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. После такой замены получается пара накрест лежащих углов, а их равенство уже служит признаком параллельности.

Если сумма односторонних углов равна 180°, прямые параллельны. Один из этих углов и угол, смежный с другим, составляют развёрнутый угол; сумма смежных углов тоже равна 180°. Поэтому первый угол равен углу, смежному со вторым. Эти два угла оказываются накрест лежащими, а значит, прямые параллельны.

Все три признака превращают измерение или равенство углов в доказательство о прямых. Вместо того чтобы пытаться продолжать прямые и проверять, пересекутся ли они, достаточно найти подходящую пару углов и установить нужное отношение. Для этого сначала определяют положение углов, а затем выбирают условие: равенство накрест лежащих, равенство соответственных или сумма односторонних углов 180°.

Признаки параллельности двух прямых

Сначала найди две прямые и секущую, а затем определи, к какой строке таблицы относится пара углов. Сравни данные в задаче с условием в этой строке: равенство или сумма 180°. Если условие выполнено, можно записать вывод о параллельности.

Разбор задач

Задача 1. Прямые a и b пересечены секущей. Накрест лежащие углы равны 68°. Докажите, что a ∥ b.

1. По условию два угла уже названы накрест лежащими, поэтому не нужно искать другие пары среди всех углов. Они образованы секущей и прямыми a и b, а значит, относятся к нужной ситуации.
2. Сравним их величины: каждый угол равен 68°, следовательно, накрест лежащие углы равны. По признаку параллельности из равенства такой пары следует, что прямые параллельны.

Ответ: a ∥ b.

Задача 2. При пересечении прямых c и d секущей один из соответственных углов равен 112°, другой — 112°. Докажите, что c ∥ d.

1. Сначала учитываем указание на положение углов: они соответственные, то есть занимают одинаковое место у двух пересечений с секущей. Поэтому их можно сравнить по признаку для соответственных углов.
2. Оба угла равны 112°, значит, они равны между собой. Равенство соответственных углов при одной секущей означает, что прямые c и d параллельны.

Ответ: c ∥ d.

Задача 3. Два односторонних угла при секущей равны (3x + 20)° и (5x + 8)°. Найдите x и докажите, что прямые параллельны.

1. Чтобы применить признак, сумма односторонних углов должна быть 180°. Составим уравнение: (3x + 20) + (5x + 8) = 180. Складываем подобные слагаемые и получаем 8x + 28 = 180.
2. Вычтем 28: 8x = 152, откуда x = 19. Подставим значение: первый угол равен 3 · 19 + 20 = 77°, второй — 5 · 19 + 8 = 103°.
3. Проверим сумму: 77° + 103° = 180°. Углы односторонние и образованы той же секущей с данными прямыми, поэтому по признаку их сумма доказывает параллельность прямых.

Ответ: x = 19; прямые параллельны.

Типичные ошибки

Накрест лежащие углы путают с односторонними, потому что обе пары расположены между прямыми. Различие в стороне секущей: накрест лежащие находятся по разные стороны, односторонние — по одну. Проверь себя: мысленно проведи секущую и отметь, лежат ли углы внутри промежутка между прямыми и по одну ли они сторону от неё.

Равенство вертикальных или смежных углов иногда принимают за признак параллельности. Но вертикальные углы равны при любом пересечении двух прямых, а смежные углы всегда в сумме дают 180°; для параллельности этого недостаточно. Убедись, что сравниваешь углы при двух разных пересечениях одной секущей, а не только углы у одной точки.

Для односторонних углов ошибочно требуют равенства. В признаке нужно другое условие: их сумма должна составлять 180°, потому что именно тогда один из углов равен углу, смежному с другим, и получаются равные накрест лежащие углы. Чтобы проверить решение, сложи значения углов, а не сравнивай их между собой.

Иногда признак применяют к углам, которые образованы разными прямыми или разными секущими. Тогда их расположение не даёт нужной связи, даже если числа случайно совпали. Перед выводом проследи на чертеже, что оба угла возникли при пересечении двух нужных прямых одной и той же секущей.

Связь с другими темами

Перед изучением признаков нужно знать виды углов при пересечении прямых, а также свойства вертикальных и смежных углов: они помогают преобразовывать пары углов. Сами признаки пригодятся, когда потребуется доказать параллельность сторон фигуры или обосновать шаг геометрического рассуждения. Тема связана со свойствами параллельных прямых: по свойствам из уже известной параллельности выводят отношения углов, а по признакам, наоборот, устанавливают параллельность.

Что запомнить

• Равенство накрест лежащих углов — признак параллельности прямых.
• Равенство соответственных углов — признак параллельности прямых.
• Сумма односторонних углов 180° — признак параллельности прямых.
• Сначала установи, какие именно углы образованы секущей.
• Признак помогает доказать параллельность, а не просто описывает углы при уже параллельных прямых.