§ 30. Признаки параллельности двух прямых

Определения и обозначения

Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые в разных точках. Если секущая пересекает прямые, у каждой точки пересечения образуются четыре угла. Часть углов лежит между двумя прямыми, а часть — снаружи; расположение углов помогает выбрать нужную пару для проверки параллельности.

Внутренние накрест лежащие углы — углы, которые находятся между двумя прямыми и по разные стороны секущей. Они расположены как бы напротив друг друга относительно секущей, но у разных точек пересечения. Эта пара нужна, когда требуется проверить, равны ли углы и можно ли по этому равенству доказать параллельность.

Внутренние односторонние углы — углы между двумя прямыми, расположенные по одну сторону секущей. Они стоят внутри полосы между прямыми и рядом с одной стороной секущей. Их не сравнивают на равенство: для признака параллельности проверяют, составляет ли их сумма 180°.

Соответственные углы — углы, занимающие одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба могут находиться над своей прямой и справа от секущей. Их расположение позволяет сопоставить углы у двух точек пересечения и использовать их равенство для доказательства параллельности.

Как это устроено

Представь две прямые и третью прямую, которая пересекает каждую из них, — секущую. У каждой точки пересечения получаются четыре угла, а вместе они образуют несколько пар с разным взаимным положением. Чтобы назвать пару, сначала отметь область между двумя прямыми, затем посмотри, по одну или по разные стороны секущей находятся углы. Так можно отличить накрест лежащие углы от односторонних, а одинаковое положение у двух пересечений укажет на соответственные.

Если внутренние накрест лежащие углы равны, прямые параллельны. Причина в том, что при непараллельных прямых их направления меняются относительно секущей, поэтому такие углы не совпадают: один оказывается больше другого. Равенство показывает, что прямые не расходятся и не сходятся по отношению к секущей. Следовательно, они не пересекутся, даже если продолжить их, то есть параллельны.

Для внутренних односторонних углов условием служит не равенство, а сумма 180°. Если сумма такая, углы дополняют друг друга до развёрнутого угла, а их стороны показывают, что прямые направлены одинаково относительно секущей. При непараллельных прямых это соотношение нарушилось бы: внутренние углы с одной стороны секущей не составили бы 180°. Поэтому условие суммы позволяет заключить, что прямые параллельны.

Равенство соответственных углов тоже доказывает параллельность. Чтобы связать этот признак с накрест лежащими углами, можно воспользоваться вертикальными углами: при пересечении прямых вертикальные углы равны. Один из соответственных углов можно заменить равным ему вертикальным углом, и получится пара равных внутренних накрест лежащих углов. Тогда параллельность следует из уже известного признака.

Все три признака позволяют установить один и тот же факт — параллельность двух прямых, но проверяют его через разные пары углов. Равенство накрест лежащих углов связано с равенством соответственных через вертикальные углы, а с внутренними односторонними — через сумму 180°. Поэтому в задаче выбирай ту пару, для которой проще определить положение углов или составить вычисление. Необходимо сначала установить тип пары, а уже потом применять условие.

Признаки параллельности двух прямых

Сначала определи, какие именно углы даны в условии, и найди соответствующую строку таблицы. Затем проверь нужное равенство или сумму и только после этого запиши вывод о параллельности. Если условие задачи выражено через переменную, сначала найди её значение, а затем сформулируй вывод.

Разбор задач

Равные внутренние накрест лежащие углы

Условие. При пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны 64°. Докажем, что прямые параллельны. Здесь числовое значение не требуется вычислять: важно распознать положение углов и нужный признак.

1. Углы лежат между прямыми и по разные стороны секущей, значит, это внутренние накрест лежащие углы.
2. По условию оба угла равны 64°, следовательно, они равны друг другу.
3. По признаку равенства внутренних накрест лежащих углов пересекаемые прямые параллельны.

Ответ: прямые параллельны.

Внутренние односторонние углы с переменной

Условие. Внутренние односторонние углы равны 3x + 15° и 5x + 5°. Найдём x и докажем параллельность прямых. Для этой пары признак требует, чтобы сумма углов составляла 180°, поэтому именно это условие превращаем в уравнение.

1. Запишем сумму: (3x + 15°) + (5x + 5°) = 180°.
2. Соберём подобные слагаемые: 8x + 20 = 180, откуда 8x = 160 и x = 20.
3. При x = 20 углы равны 75° и 105°; их сумма равна 180°.
4. По признаку внутренних односторонних углов прямые параллельны.

Ответ: x = 20; прямые параллельны.

Соответственные углы с переменной

Условие. Две прямые пересечены секущей. Один угол равен 72°, а соответственный ему угол выражен как 2x + 6°. Найдём x и установим, параллельны ли прямые. Сначала используем равенство углов, которое требуется для признака параллельности.

1. Запишем равенство соответственных углов: 2x + 6 = 72.
2. Вычтем 6 из обеих частей: 2x = 66, поэтому x = 33.
3. При найденном значении второй угол равен 2 · 33 + 6 = 72°, то есть углы действительно равны.
4. По признаку равенства соответственных углов прямые параллельны.

Ответ: x = 33; прямые параллельны.

Типичные ошибки

Можно перепутать накрест лежащие и односторонние углы, заметив только, что оба угла находятся внутри прямых. Разница определяется стороной секущей: для накрест лежащих стороны разные, для односторонних — одна. Чтобы проверить себя, отметь секущую и мысленно проведи через неё границу: углы окажутся по одну сторону или по разные?

Ещё одна ошибка — считать, что равенство любых двух углов доказывает параллельность. Углы могут быть вертикальными или смежными при одной точке пересечения, и их равенство само по себе ничего не говорит о параллельности двух прямых. Проверь, что сравниваются углы у разных пересечений и что их пара указана в признаке.

Для внутренних односторонних углов иногда ошибочно требуют равенства. Это условие взято от других признаков, где сравниваются накрест лежащие или соответственные углы. Подставь значения в сумму: признак для односторонних углов работает, когда результат равен 180°.

При работе с соответственными углами можно назвать углы соответствующими только потому, что они находятся у разных пересечений. На самом деле они должны занимать одинаковое положение относительно секущей и каждой прямой. Сравни, например, лежат ли оба угла выше своей прямой и с одной стороны от секущей; если положение различается, это другая пара.

Связь с другими темами

Для изучения признаков нужно знать, какие углы образуются при пересечении прямых, и помнить свойства вертикальных и смежных углов. Определение параллельных прямых помогает понять, какой вывод требуется доказать. Позже признаки пригодятся в задачах на углы при параллельных прямых и при доказательстве геометрических утверждений. Они также помогают обосновывать построения, когда требуется провести прямую, параллельную заданной.

Что запомнить

• Равные внутренние накрест лежащие углы дают параллельность прямых.
• Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна 180°.
• Равные соответственные углы дают параллельность прямых.
• Для применения признака важно правильно определить пару углов.
• Признак позволяет доказать параллельность, а не просто вычислить величину угла.