"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Теорема — утверждение, которое доказывают, опираясь на известные факты. В ней выделяют условие — то, что дано, — и заключение — то, что нужно установить. Если поменять их местами, получится обратное утверждение, но оно не обязательно будет верным. Поэтому обратную теорему проверяют отдельно: доказывают или опровергают контрпримером. Умение разбирать структуру теоремы помогает понимать доказательства и строить свои.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема — утверждение, истинность которого устанавливают доказательством. Это не определение: определение объясняет значение понятия, например что называют перпендикулярными прямыми. А теорема сообщает о связи между понятиями и требует обоснования. Уже доказанный факт можно использовать в дальнейших рассуждениях как основание, а не доказывать заново.
Условие теоремы — сведения, которые считаются заданными. В формулировке их часто вводят словами «если», «даны», «пусть»; условие можно пометить буквой У. Например, в утверждении о перпендикулярных прямых дано, что прямые перпендикулярны. Поиск условия нужен, чтобы понять, с какими сведениями разрешено начинать доказательство.
Заключение теоремы — утверждение, которое требуется доказать, если условие выполнено; его можно обозначить буквой З. В форме «если…, то…» заключение стоит после слова «то». Например, если дано, что прямые перпендикулярны, то заключение состоит в том, что они пересекаются. Выделив заключение, мы точно понимаем, к какому результату должно привести доказательство.
Обратная теорема получается, когда в исходном утверждении меняют местами условие и заключение. Если исходное утверждение имеет вид «если У, то З», обратное звучит так: «если З, то У». Это уже новое утверждение, а не автоматически доказанное следствие: его истинность нужно проверять отдельно. Такое различение помогает не спутать похожие формулировки с одинаково верными фактами.
Чтобы разделить формулировку, сначала попробуй представить её как «если…, то…». В части после «если» окажутся сведения, которые принимаются за данные, а после «то» — то, что утверждается о них. Если привычный порядок слов мешает, перефразируй предложение, не меняя смысла. Например, «перпендикулярные прямые пересекаются» можно прочитать так: «если две прямые перпендикулярны, то они пересекаются».
Доказательство начинают с условия, потому что именно оно сообщает, какие факты известны о фигурах. Затем используют определения, ранее доказанные теоремы и логические рассуждения, чтобы получить новые сведения. Завершают доказательство установлением заключения: иначе не будет показано, что заданные сведения действительно приводят к требуемому результату. Так выстраивается цепочка от известного к тому, что нужно подтвердить.
Чтобы получить обратное утверждение, меняют местами условие и заключение целиком. Например, в теореме «если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой» условием служат обе параллельности к третьей прямой, а заключением — параллельность между собой. Обратная формулировка будет такой: «если две прямые параллельны между собой, то они параллельны одной и той же данной прямой». Нельзя переставить только отдельные слова: нужно поменять местами две смысловые части.
После перестановки получается новое утверждение, потому что направление рассуждения изменилось. Из того, что А влечёт Б, ещё не следует, что Б влечёт А. Например, если две прямые перпендикулярны, они пересекаются, но пересекающиеся прямые могут образовать угол, отличный от 90°. Поэтому истинность исходной теоремы не служит доказательством обратной.
Обратное утверждение сначала проверяют на смысл: следует ли новое заключение из нового условия? Если для всех случаев оно кажется верным, это ещё нужно обосновать доказательством. Если найден хотя бы один случай, где условие выполнено, а заключение нет, такой контрпример опровергает утверждение. Рисунок может подсказать возможный случай, но сам по себе не доказывает общий факт.
| Что сравниваем | Исходная теорема | Обратная теорема |
|---|---|---|
| Условие | Две прямые параллельны одной и той же прямой | Две прямые параллельны между собой |
| Заключение | Эти прямые параллельны между собой | Обе прямые параллельны той же третьей прямой |
| Как получена формулировка | Исходное утверждение | Условие и заключение поменяны местами |
| Нужно ли доказывать отдельно | Да, если теорема ещё не доказана | Да, независимо от исходной теоремы |
| Возможный результат проверки | Верна при выполнении условия | Может быть верна или опровергнута контрпримером |
Сначала прочитай средний столбец как цепочку «условие — заключение», затем проверь, что в правом столбце эти части переставлены целиком. Последние две строки напоминают: обратное утверждение не наследует доказанность исходного. Его нужно исследовать отдельно.
Задача 1. В формулировке «Если две прямые перпендикулярны, то они пересекаются» выделить условие и заключение.
Ответ: условие — две прямые перпендикулярны; заключение — прямые пересекаются. Разделение не зависит от того, что оба факта относятся к одним и тем же прямым: важно, какой из них дан, а какой требуется получить.
Задача 2. Сформулировать обратное утверждение к теореме: «Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой».
Ответ: «Если две прямые параллельны между собой, то они параллельны одной и той же данной прямой». Формулировка показывает, как меняется направление утверждения; её истинность всё равно проверяют отдельно. Указание на ту же третью прямую важно: оно сохраняет смысл частей исходной теоремы.
Задача 3. Проверить утверждение: «Если две прямые пересекаются, то они перпендикулярны». Верно ли оно?
Ответ: утверждение неверно. Пересекающиеся под углом 45° прямые — контрпример: он удовлетворяет условию и опровергает заключение. Значит, одного такого случая достаточно, чтобы отвергнуть утверждение для всех пересекающихся прямых.
Ошибка: считать обратную формулировку истинной лишь потому, что исходная теорема верна. Так происходит, когда направление рассуждения воспринимают как взаимное; пример с пересекающимися и перпендикулярными прямыми показывает, что это не так. Проверь себя вопросом: доказано ли новое утверждение отдельно? Если нет, его истинность пока не установлена.
Ошибка: находить условие и заключение только по порядку слов. В обычной речи часть, которая стоит первой, не всегда является условием, поэтому такой способ сбивает. Перестрой предложение в форму «если…, то…», сохраняя смысл. Затем проверь: условие должно отвечать на вопрос «что дано?», а заключение — «что нужно доказать?».
Ошибка: при составлении обратной теоремы переставлять отдельные слова, а не смысловые части. Например, можно случайно изменить, к какой прямой относится параллельность, и получить уже другое утверждение. Сначала выпиши условие и заключение целыми фразами, а затем поменяй фразы местами. Для самопроверки сравни, не потерялись ли важные сведения в каждой части.
Ошибка: принимать наглядный рисунок за доказательство. На чертеже прямые могут выглядеть перпендикулярными, хотя изображение не гарантирует точность угла и не охватывает все случаи. Рисунок помогает представить условие и найти возможный контрпример, но не подтверждает утверждение для всех фигур. Проверь себя: есть ли рассуждение, которое опирается на данные и обосновывает заключение?
Чтобы разбирать теоремы, полезно различать определение, утверждение и доказательство, а также понимать геометрические обозначения. Определение раскрывает смысл термина, утверждение сообщает факт, а доказательство объясняет, почему факт верен. Эти знания помогают точно прочитать условие и не принять требуемое заключение за уже данное.
Структура теоремы опирается на доказательство и логическую связь «если…, то…». Условие задаёт отправную точку рассуждения, а заключение — его цель. Такое чтение помогает следить за тем, какие сведения известны и почему из них получается следующий шаг.
Различать прямую и обратную теоремы нужно при изучении признаков равенства и параллельности фигур. В доказательствах важно понимать, какое утверждение можно применить к данным, а какое ещё требуется обосновать. Это умение пригодится и при построении собственных рассуждений.
Как быстро найти условие и заключение теоремы?
Переформулируй утверждение как «если…, то…». Всё после «если» — условие, то есть данное, а после «то» — заключение, которое требуется доказать.
Как правильно сформулировать обратную теорему?
Сначала выдели условие и заключение исходной теоремы целиком. Затем поменяй их местами, не изменяя смысл каждой части.
Всегда ли обратная теорема верна?
Нет. Перестановка условия и заключения меняет логическую связь, поэтому новое утверждение может оказаться ложным. Например, пересекающиеся прямые не обязательно перпендикулярны.
Нужно ли отдельно доказывать обратную теорему?
Да, её истинность не следует автоматически из исходной теоремы. Обратное утверждение нужно доказать или опровергнуть контрпримером.
Чем контрпример помогает проверить обратное утверждение?
Контрпример — один случай, в котором условие выполнено, а заключение ложно. Такого случая достаточно, чтобы опровергнуть утверждение, которое заявлено верным для всех подходящих объектов.
§ 29. Структура теоремы. Обратная теорема
