§ 28. Понятие о параллельном переносе

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование плоскости, при котором все точки перемещаются в одном направлении на одно и то же расстояние. Иными словами, ни одна точка не получает отдельного способа движения: правило для всех одинаковое. Это определение помогает отличить перенос от других преобразований, например поворота.

Вектор параллельного переноса задаёт направление и длину перемещения. Его можно представить направленным отрезком: начало соответствует исходной точке, а конец — её образу. Вектор нужен, чтобы точно описать сдвиг и выполнить построение без словесных догадок о том, куда двигать фигуру.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при параллельном переносе. Если исходную точку обозначили A, её образ часто обозначают A′, то есть буквой со штрихом. Такое обозначение позволяет не путать точку до преобразования с точкой после него и записывать пары соответствующих точек.

Образ фигуры — фигура, полученная переносом всех точек исходной фигуры на один и тот же вектор. Например, перенос вершин треугольника задаёт новый треугольник, а перенос каждой точки стороны — всю сторону. Это понятие нужно, чтобы описывать результат преобразования не только для отдельной точки, но и для целого чертежа.

Как это устроено

Чтобы задать параллельный перенос, указывают направление и расстояние либо сразу задают вектор. Одного расстояния недостаточно: сдвиг на три сантиметра вправо и на три сантиметра вверх даст разные результаты. Вектор объединяет обе нужные характеристики, поэтому по нему можно одинаково однозначно перенести любую точку плоскости.

Отрезки, соединяющие точки с их образами, равны и параллельны, потому что каждый такой отрезок изображает один и тот же вектор переноса. У всех них совпадают длина и направление, даже если исходные точки расположены далеко друг от друга. Поэтому, например, если A переходит в A′, а B — в B′, то AA′ и BB′ равны и параллельны, если перенос не нулевой.

Чтобы построить образ точки по заданному вектору, приложи вектор началом к этой точке и отметь его конец. Это можно сделать линейкой и угольником: сохранить направление, провести параллельную линию и отложить нужную длину. Нельзя переворачивать вектор, иначе получится сдвиг в обратную сторону, а значит, другое преобразование.

Образ многоугольника строят через его вершины: каждую вершину переносят по заданному вектору, затем соединяют полученные точки в том же порядке. Такой способ работает потому, что стороны многоугольника соединяют соответствующие вершины, а перенос каждой точки задаёт положение всех частей фигуры. Для круга, линии или другой фигуры правило то же: переносятся все её точки, хотя на чертеже обычно достаточно показать несколько опорных точек и получившийся образ.

Форма фигуры не меняется, потому что расстояние между любой парой точек сохраняется. Если две точки сдвинуть на один и тот же вектор, их взаимное положение не изменится: общий сдвиг не растягивает и не сжимает соединяющий их отрезок. Поэтому сохраняются длины сторон и величины углов, а образ фигуры равен исходной фигуре.

Что происходит с фигурами при параллельном переносе

Читайте таблицу по строкам: сначала найдите исходный объект, затем посмотрите, во что он переходит и какое свойство при этом остаётся неизменным. Например, сторона многоугольника переходит в равный и параллельный отрезок. Указанные свойства помогают проверять чертёж и объяснять, почему образ сохраняет форму.

Разбор задач

Задача 1. Построить образ точки

Точка A перенесена на вектор длины 3 см, направленный вправо. Постройте её образ A′. Здесь направление уже указано словами, поэтому нужно отложить от A отрезок именно вправо, а не просто провести отрезок любой длины.

1. Отметь точку A и выбери на чертеже горизонтальное направление вправо. Так мы заранее фиксируем направление вектора и не перепутаем его с противоположным.
2. Приложи начало линейки к A и отложи вправо 3 см. Проверь, что длина отрезка измерена от самой точки A, а не от края листа или другой отметки.
3. Обозначь конец полученного отрезка A′. Отрезок AA′ имеет длину 3 см и направлен вправо, значит, он задаёт нужный перенос.

Ответ: точка A′ находится на расстоянии 3 см справа от A.

Задача 2. Построить образ отрезка

Дан отрезок AB и вектор переноса. Постройте его образ A′B′ и объясните, почему он равен AB. Переносить только одну вершину нельзя: образ отрезка определяется положением обоих концов, поэтому нужно применить одно правило и к A, и к B.

1. Сначала перенеси точку A по заданному вектору и обозначь результат A′. Отложи от A отрезок, равный вектору по длине и направлению.
2. Тем же способом построй образ B′ точки B. Не меняй длину и направление вектора: иначе концы отрезка будут перенесены по разным правилам.
3. Соедини A′ и B′. Отрезок A′B′ и есть образ AB, потому что его концы получены переносом концов исходного отрезка.
4. Обоснуй равенство: обе точки сдвинуты на один вектор, поэтому расстояние между ними не изменилось. Следовательно, A′B′ = AB; при этом соответствующие отрезки параллельны, если AB не лежит на линии, совпадающей с направлением переноса.

Ответ: образ — отрезок A′B′; он равен AB, поскольку параллельный перенос сохраняет расстояния.

Задача 3. Перенести треугольник

Дан треугольник ABC и вектор переноса. Постройте его образ и докажите, что полученный треугольник равен исходному. Чтобы доказательство было убедительным, недостаточно сказать, что фигура «выглядит такой же»: нужно связать каждую вершину с её образом и указать сохранённые элементы.

1. Перенеси вершину A на заданный вектор и получи A′. Повтори построение для B и C, каждый раз соблюдая ту же длину и то же направление.
2. Соедини A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины. Так получишь треугольник A′B′C′, соответствующий ABC.
3. Сравни стороны: расстояние между каждой парой вершин при общем сдвиге сохраняется. Поэтому A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA.
4. Сделай вывод о равенстве: три стороны образа равны соответствующим сторонам исходного треугольника. Значит, треугольники ABC и A′B′C′ равны; их соответствующие углы также имеют одинаковые величины.

Ответ: образ — треугольник A′B′C′; он равен ABC, поскольку перенос сохраняет длины сторон и величины углов.

Типичные ошибки

Ошибка: перемещать разные точки на разные расстояния или в разных направлениях. Так можно случайно исказить фигуру, потому что вместо одного преобразования получится несколько несогласованных сдвигов. Обычно это происходит, когда ученик строит каждую точку независимо и не сверяется с вектором; проверь, равны ли и сонаправлены ли все отрезки от точек к образам.

Ошибка: считать, что перенос всегда должен заметно передвинуть фигуру. При нулевом векторе каждая точка остаётся на месте, поэтому образ совпадает с исходной фигурой. Это легко упустить, если представлять перенос только как перемещение по чертежу; проверка простая: посмотри, задан ли ненулевой вектор.

Ошибка: откладывать заданный вектор в обратном направлении. Длина при этом может быть верной, но образ окажется не там, где нужно, потому что направление входит в условие переноса. Чтобы проверить себя, сравни стрелку вектора с отрезком от исходной точки к образу: они должны смотреть в одну сторону.

Ошибка: путать равенство фигур с их совпадением. Образ равен исходной фигуре по форме и размерам, но может находиться в другом месте плоскости. Путаница возникает из-за слова «равны»; проверь не наложение фигур на чертеже, а равенство соответствующих сторон и углов.

Связь с другими темами

Для построений пригодится умение откладывать отрезок заданной длины и понимать направление отрезка. Эти навыки позволяют верно задать вектор и найти образ точки без изменения его длины или направления. Знание параллельных прямых, равных отрезков и равных углов помогает описывать свойства образа и обосновывать, что фигура сохранила форму.

Параллельный перенос относится к преобразованиям плоскости: исходные точки заменяются их образами по определённому правилу. Представление о преобразованиях и сохранении формы пригодится при изучении симметрий и движений плоскости. Сравнивая разные преобразования, можно увидеть, какие свойства фигуры остаются неизменными.

Что запомнить

• При параллельном переносе все точки перемещаются на один и тот же вектор.
• Вектор переноса задаёт направление и расстояние перемещения.
• Образ точки строят откладыванием заданного вектора от неё.
• Образ фигуры получают переносом всех её точек.
• Параллельный перенос сохраняет расстояния и углы.
• Образ фигуры равен исходной, но может находиться в другом месте.