§ 27. Направление

Определения и обозначения

Направление прямой — одно из двух направлений движения вдоль прямой. Любая прямая задаёт такие направления: по ней можно двигаться в одну сторону или в противоположную. У параллельных прямых направления общие, поэтому это понятие помогает сравнивать движение по разным прямым, не обращая внимания на расстояние между ними.

Одинаково направленные прямые — параллельные прямые, на которых можно выбрать лучи, направленные в одну и ту же сторону. Луч — часть прямой, которая начинается в одной точке и продолжается бесконечно в одну сторону. Сравнение выбранных лучей показывает, совпадает ли направление движения на этих прямых.

Противоположно направленные прямые — параллельные прямые, на которых выбраны лучи, направленные в разные стороны. Например, один луч продолжается вправо, а другой — влево вдоль параллельных прямых. Это различие позволяет точно описать, как соотносятся выбранные направления.

Направление луча — направление от его начала вдоль прямой, на которой он лежит. Луч показывает не только линию движения, но и сторону, в которую она продолжается. Поэтому у одной прямой можно выбрать два луча с противоположными направлениями.

Как это устроено

Прямая не имеет начала и конца, поэтому по ней можно двигаться в обе стороны. Если начать движение из любой её точки, один путь ведёт в одну сторону, а второй — в противоположную. Именно поэтому у прямой не одно, а два направления. Они относятся к одной линии, но указывают на разные стороны.

Чтобы сравнить направления двух параллельных прямых, выбирают по лучу на каждой. Затем представляют, что один луч перенесли к другому, сохранив его поворот и сторону, куда он продолжается. Если лучи после такого переноса продолжаются в одну сторону, они одинаково направлены. Если один указывает туда, куда другой не продолжается, их направления противоположны.

Параллельные прямые не пересекаются и идут в одном и том же направлении относительно друг друга. Поэтому направление можно сравнивать, даже если прямые находятся на разном расстоянии или проходят через разные точки. Их расположение меняется, но общие направления остаются. Так направление описывает не место прямой, а сторону движения вдоль неё.

Выбор луча важен: на каждой прямой можно взять луч, направленный в одну из двух сторон. Если заменить луч на той же прямой на противоположный, его направление изменится на обратное. Поэтому при замене только одного из двух выбранных лучей одинаковое направление станет противоположным или наоборот. Если развернуть оба луча, их сравнение останется прежним: оба направления поменяются одновременно.

Для непараллельных прямых сравнение «одинаково или противоположно направлены» в этом смысле не применяют. Лучи на таких прямых не идут вдоль общего направления, которое можно было бы перенести с одной прямой на другую без поворота. Поэтому сначала проверяют, параллельны ли прямые, и только затем сравнивают выбранные на них лучи.

Сравнение направлений параллельных прямых

Сначала проверьте, что прямые параллельны, а затем смотрите на направление лучей, а не на высоту прямых. Мысленный перенос одного луча помогает сравнить их без поворота. Если лучи продолжаются в одну сторону — направление одинаковое, если в разные — противоположное.

Разбор задач

Задача 1. На двух параллельных прямых отмечены по одному лучу. Определите, одинаково или противоположно они направлены. Для решения важно сравнить направление движения вдоль прямых, а не их положение на листе.

1. Проверяем условие: прямые параллельны, значит, их направления можно сравнивать.
2. Мысленно переносим один луч к другому, не поворачивая его. Оба луча продолжаются в одну сторону вдоль прямых.
3. Следовательно, направления лучей совпадают.

Ответ: лучи одинаково направлены. Если бы после переноса они продолжались в разные стороны, направления были бы противоположными.

Задача 2. Даны две параллельные прямые и луч на одной из них. Изобразите на другой прямой луч, одинаково направленный с данным. Нужно сохранить сторону движения, хотя луч будет лежать на другой прямой.

1. Определяем, в какую сторону от начала продолжается данный луч.
2. На второй параллельной прямой выбираем начальную точку и проводим из неё луч вдоль этой прямой.
3. Направляем новый луч в ту же сторону, что и данный: после мысленного переноса лучи должны продолжаться одинаково.

Ответ: на второй прямой нужно провести луч, направленный в ту же сторону вдоль параллельных прямых. Если провести его в обратную сторону, он будет противоположно направлен данному.

Задача 3. На рисунке изображены несколько параллельных прямых и лучи на них. Определите пары одинаково и противоположно направленных лучей и обоснуйте ответ. При нескольких лучах удобнее сравнивать их последовательно, не полагаясь на то, выше или ниже они расположены.

1. Сгруппируем лучи по двум сторонам: какие продолжаются в одну сторону вдоль параллельных прямых, а какие — в другую.
2. Пары лучей из одной группы одинаково направлены, потому что они показывают одно направление.
3. Пары лучей из разных групп противоположно направлены: один луч продолжается в сторону, противоположную другому.

Ответ: одинаково направлены лучи, относящиеся к одной группе; противоположно — лучи из разных групп. Обоснование для каждой пары — сравнение стороны движения по параллельным прямым.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что параллельные прямые обязательно направлены одинаково. Параллельность означает, что прямые не пересекаются, но на каждой можно выбрать луч в любую из двух сторон. Поэтому лучи на них могут быть как одинаково, так и противоположно направлены. Для проверки сравните, куда продолжается каждый луч.

Ошибка: определять направление по тому, какая прямая расположена выше или ниже. Такое впечатление возникает из-за рисунка, но положение прямой не показывает сторону движения. Проверяйте, куда указывают лучи вдоль прямых, и мысленно перенесите один к другому.

Ошибка: путать направление прямой с направлением выбранного на ней луча. Прямая задаёт сразу два противоположных направления, а конкретный луч выбирает только одно из них. Чтобы проверить себя, отметьте начало луча и проследите, в какую сторону он продолжается.

Ошибка: сравнивать направления непараллельных прямых так же, как параллельных. При таком сравнении нет общего направления, вдоль которого можно сопоставить лучи без поворота. Сначала установите параллельность прямых; если её нет, сравнение здесь не применяется.

Связь с другими темами

Для изучения направления нужно знать, что такое прямая, луч и параллельные прямые. Прямая задаёт линию движения, луч помогает выбрать сторону, а параллельность позволяет сравнивать направления на разных прямых. Если эти понятия знакомы, достаточно проверить параллельность и проследить, куда направлены лучи.

Понятие направления пригодится при изучении параллельного переноса: фигура перемещается на одинаковое расстояние в одном направлении. Оно также связано с векторными представлениями, в которых направление — одна из важных характеристик движения. Поэтому умение сравнивать лучи помогает описывать перемещения точнее.

Что запомнить

• У прямой два противоположных направления.
• Параллельные прямые имеют общие направления.
• На параллельных прямых можно выбрать одинаково или противоположно направленные лучи.
• Направление луча задаётся тем, куда он продолжается от начала.
• Направление не определяется тем, где прямая расположена на чертеже.