§ 26. Аксиома параллельности. Транзитивность параллельных прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются; обозначение: a ∥ b. Условие об одной плоскости отличает параллельные прямые от любых непересекающихся прямых в пространстве. Например, прямые на разных стенах комнаты могут не пересекаться, но не быть параллельными. Это определение помогает точно устанавливать, о каком расположении прямых идёт речь.

Аксиома параллельности — через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной. Иначе говоря, если точка M находится вне прямой a, через неё можно провести одну прямую b так, что b ∥ a. Слова «ровно одна» одновременно гарантируют, что такая прямая существует и что второй такой прямой нет. Аксиома нужна для рассуждений о параллельных прямых и построений через заданную точку.

Транзитивность параллельности — если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Если a ∥ c и b ∥ c, то можно заключить, что a ∥ b. Это свойство позволяет доказывать параллельность двух прямых через третью, не сравнивая их напрямую. При этом нужно знать именно две параллельности к одной и той же прямой.

Как это устроено

Условие о том, что прямые лежат в одной плоскости, необходимо из-за особенностей пространства. В одной плоскости две прямые либо пересекаются, либо не пересекаются; второй случай и даёт параллельность. В пространстве прямые могут не встречаться, потому что находятся в разных плоскостях и направлены по-разному. Поэтому одного факта «не пересекаются» недостаточно: нужно также подтвердить, что прямые лежат в одной плоскости.

Аксиома параллельности отвечает сразу на два вопроса о прямой через точку M вне прямой a. Существование означает, что через M можно провести прямую, не пересекающую a в той же плоскости. Единственность означает, что никакая другая отличная от неё прямая через M не будет параллельна a. Если бы таких прямых оказалось две, утверждение «ровно одна» было бы нарушено.

Аксиому параллельности не доказывают, потому что в геометрии есть исходные положения, принимаемые без доказательства. Они служат опорой для дальнейших доказательств: если каждое утверждение требовало бы другого доказательства, рассуждение не могло бы начаться. На основе аксиомы и уже известных свойств углов получают новые утверждения о прямых. В частности, она помогает обосновывать признаки параллельности, связывающие расположение прямых с углами, которые образуются при пересечении их секущей.

Углы при секущей дают возможность распознать параллельность по измеряемому условию. Например, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны; такие утверждения доказывают, используя аксиому и свойства углов. Обратные рассуждения тоже полезны: если прямые параллельны, можно установить отношения между соответствующими углами. Поэтому аксиома не только говорит о единственной параллельной прямой, но и участвует в обосновании правил, которыми пользуются при решении задач.

Транзитивность применяют, когда даны a ∥ c и b ∥ c. По определению обе прямые a и b лежат в одной плоскости с прямой c, а значит, находятся в одной плоскости между собой. Если бы a и b пересекались, через точку их пересечения проходили бы две разные прямые, параллельные c, что противоречило бы аксиоме параллельности. Следовательно, a и b не пересекаются в одной плоскости, то есть a ∥ b.

Аксиома и свойство транзитивности параллельных прямых

Сначала найдите в условии нужную ситуацию: точку вне прямой для аксиомы или две параллельности к одной прямой для транзитивности. Затем проверьте, что соблюдены все условия, включая принадлежность одной плоскости. После этого запишите вывод, который разрешает сделать соответствующее утверждение.

Разбор задач

Задача 1. Дана прямая a и точка M вне неё. Сколько прямых, проходящих через M и параллельных a, можно провести? Здесь точка находится именно вне прямой, поэтому условие аксиомы выполнено. Требуется учесть не только наличие параллельной, но и то, может ли их быть несколько.

1. Сопоставим условие задачи с аксиомой: M не лежит на a.

2. Аксиома утверждает, что через такую точку проходит ровно одна прямая, параллельная a.

3. Слово «ровно» означает и существование, и единственность, поэтому дополнительных прямых быть не может.

Ответ: одну прямую.

Задача 2. Прямые a и b параллельны прямой c. Докажите, что a ∥ b. Недостаточно просто повторить, что a и b не пересекаются: нужно проверить общую плоскость и применить транзитивность. В этом случае обе прямые параллельны одной и той же прямой.

1. Из a ∥ c и b ∥ c следует, что a и c лежат в одной плоскости, как и b и c. Значит, a, b и c находятся в одной плоскости.

2. Предположим, что a и b пересекаются в точке P. Тогда через P проходят две различные прямые a и b, параллельные c.

3. Это противоречит аксиоме, по которой через точку вне c проходит только одна параллельная c прямая. Следовательно, a и b не пересекаются.

4. Так как a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, по определению они параллельны.

Ответ: a ∥ b.

Задача 3. Через точку M, не лежащую на прямой a, проведена прямая b, параллельная a. Прямая c проходит через M и отличается от b. Докажите, что c пересекает a. Здесь полезно рассуждать от противного: временно предположить, что пересечения нет, и проверить, к чему это приведёт. Важно также учитывать, что c и a проходят в одной плоскости, заданной прямыми a и b.

1. Предположим, что c не пересекает a. Поскольку c и a лежат в одной плоскости, из определения следует c ∥ a.

2. Через M тогда проходят две прямые, параллельные a: b и c. Они различны по условию задачи.

3. Получили противоречие с аксиомой параллельности, которая разрешает только одну параллельную a прямую через M.

4. Значит, предположение неверно и c пересекает a.

Ответ: прямая c пересекает прямую a.

Типичные ошибки

Называть параллельными любые непересекающиеся прямые — ошибка, потому что в пространстве они могут лежать в разных плоскостях. Так происходит, если помнить только часть определения. Проверьте себя: установлено ли, что прямые находятся в одной плоскости? Если нет, параллельность ещё не доказана.

Применять аксиому к точке на данной прямой нельзя: она относится к точке вне прямой. Ошибка возникает, когда забывают прочитать условие целиком. Перед выводом проверьте, лежит ли точка на прямой или вне её. Аксиома гарантирует единственную параллельную прямую только во втором случае.

Единственность параллельной через заданную точку не означает, что параллельная прямая вообще одна. Через разные точки вне прямой можно провести разные прямые, параллельные ей. Путают эти утверждения, если не уточняют, к какой точке относится слово «единственная». Для проверки укажите в ответе: одна прямая через какую именно точку?

Транзитивность нельзя применять к паре прямых только потому, что они не пересекаются. Нужно знать, что обе параллельны одной и той же прямой, а для слова «параллельны» требуется также общая плоскость. Ошибку помогает обнаружить запись условий: должны быть именно a ∥ c и b ∥ c. Если одной из этих связей нет, вывод a ∥ b пока не обоснован.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия точки, прямой и плоскости, а также определение параллельных прямых. Пригодятся свойства углов, образованных двумя прямыми и секущей: с их помощью устанавливают признаки параллельности и доказывают отношения между углами. Поэтому аксиома связывает построения с геометрическими доказательствами.

Транзитивность и аксиома используются при доказательстве свойств и признаков параллельных прямых. Они помогают решать задачи на углы: сначала можно доказать параллельность, а затем использовать свойства углов при секущей. Те же рассуждения полезны в задачах на построение прямой через заданную точку.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная ей прямая.
• Аксиома параллельности принимается без доказательства.
• Если две прямые параллельны одной и той же прямой, они параллельны между собой.
• Для применения транзитивности нужно установить обе параллельности к одной и той же прямой.