§ 25. Параллельные прямые. Построение параллельных прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Если продолжать их в обе стороны, общей точки всё равно не появится. Условие «в одной плоскости» обязательно: оно отличает параллельные прямые от прямых в пространстве, которые не пересекаются, но расположены по-разному.

Параллельность обозначают знаком ∥. Запись a ∥ b читают: «прямая a параллельна прямой b». Такая короткая запись удобна в задачах и доказательствах: она сообщает, что прямые лежат в одной плоскости и не имеют общей точки.

Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. При этом на чертеже образуются углы у первого пересечения и углы у второго. Их расположение помогает сравнивать прямые и выяснять, параллельны ли они.

Соответственные и накрест лежащие углы — пары углов, которые возникают, когда секущая пересекает две прямые. Соответственные углы находятся в одинаковом положении у обоих пересечений, а накрест лежащие — между прямыми, но по разные стороны секущей. Эти названия нужны, чтобы точно указать, какую пару углов сравнивают.

Как это устроено

В одной плоскости две прямые либо пересекаются, либо не имеют общих точек. Поэтому, если прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, их называют параллельными. В пространстве этого признака недостаточно: прямые могут не пересекаться из-за того, что не лежат в одной плоскости, и тогда они называются скрещивающимися.

Чтобы найти соответственные углы, сначала отметьте секущую и два места её пересечения с прямыми. Затем выберите углы, стоящие в одинаковом положении: например, оба над секущей и справа от пересекаемой прямой. Накрест лежащие углы ищите внутри области между прямыми, причём один должен быть с одной стороны секущей, а второй — с другой. Если на рисунке трудно ориентироваться, можно мысленно повернуть его, не меняя взаимного расположения линий.

Равенство соответственных углов позволяет установить параллельность прямых. Причина в том, что секущая образует с обеими прямыми одинаковые углы в одинаковом положении, поэтому направления прямых совпадают и при продолжении они не пересекутся. Такой вывод называют признаком параллельности прямых. Для него достаточно равенства одной пары соответственных углов.

Есть и другой признак: если накрест лежащие углы равны, то пересекаемые секущей прямые параллельны. Эти углы расположены по разные стороны секущей, и их равенство показывает, что наклоны прямых к секущей согласованы. Не следует сравнивать случайную пару углов: признак работает именно для накрест лежащих углов. Условия для разных пар собраны в таблице ниже.

Чтобы провести через заданную точку прямую, параллельную данной, приложите одну сторону угольника к данной прямой, а линейку — к другой стороне угольника. Удерживая линейку на месте, сдвигайте угольник вдоль неё, пока нужная сторона угольника не пройдёт через заданную точку. Проведите по этой стороне прямую, не поворачивая угольник и не сдвигая линейку.

При таком перемещении угольник сохраняет своё положение относительно линейки, поэтому угол между стороной угольника и линейкой не меняется. Линейка играет роль секущей, а направленная вдоль неё сторона угольника задаёт одинаковые соответственные углы в исходном и новом положениях. Равенство этих углов служит признаком параллельности. Значит, построенная прямая параллельна исходной.

Пары углов при пересечении прямых секущей

Сначала определите, где проходят секущая и пересекаемые прямые, затем отнесите углы к одной из строк. Условие в последнем столбце подсказывает, какое равенство или сумму нужно проверить. Учитывайте именно расположение углов, а не то, как они выглядят на рисунке.

Разбор задач

Задача 1. Определить соответственные углы

Прямая c пересекает прямые a и b. Требуется установить, какие из отмеченных пар углов соответственные. Номера углов и их расположение в условии не заданы, поэтому решение нужно проводить по отмеченным на конкретном чертеже парам. Для каждой пары проверим её положение у обоих пересечений.

1. Найдите точки, в которых c пересекает a и b. Прямая c — секущая, а остальные две прямые — пересекаемые.
2. Для каждого угла отметьте его положение относительно c и соответствующей прямой: например, над c и справа от пересекаемой прямой.
3. Сравните углы пары. Если оба занимают одинаковое положение у разных пересечений, пара является соответственной.

Ответ: соответственными являются отмеченные пары, в которых оба угла стоят в одинаковом положении относительно секущей и пересекаемых прямых. Без рисунка или описания отмеченных углов перечислить конкретные пары невозможно. Для проверки не нужно измерять углы — достаточно сопоставить их расположение.

Задача 2. Равные накрест лежащие углы

При пересечении прямых a и b секущей одна пара накрест лежащих углов равна 68°. Нужно решить, можно ли заключить, что a ∥ b. Здесь важно не само значение 68°, а то, что углы названы накрест лежащими. Для такого типа пары существует признак параллельности.

1. Убедитесь, что речь идёт об углах между прямыми a и b и по разные стороны секущей.
2. Сопоставьте условие с признаком: если накрест лежащие углы равны, пересекаемые прямые параллельны.
3. По условию оба угла имеют величину 68°, значит, они равны. Следовательно, признак применим.

Ответ: да, можно заключить, что a ∥ b. Значение 68° не требуется преобразовывать или складывать с другими углами. Вывод был бы необоснованным, если бы равными оказались два произвольных угла, а не накрест лежащая пара.

Задача 3. Построить параллельную прямую

Через точку, не лежащую на данной прямой, нужно провести параллельную ей прямую с помощью угольника и линейки. Угольник должен скользить вдоль линейки, сохраняя своё положение. После построения нужно объяснить, почему результат верен, а не только показать проведённую линию.

1. Приложите сторону угольника к данной прямой, а линейку — к другой стороне. Убедитесь, что угольник и линейка плотно соприкасаются.
2. Придерживая линейку, сдвиньте угольник вдоль неё до заданной точки. Не поворачивайте угольник и не меняйте наклон линейки.
3. Проведите прямую по стороне угольника, проходящей через точку. Она и будет искомой.
4. Обоснуйте построение: перемещение не изменило углы между угольником и линейкой. При пересечении исходной и проведённой прямых этой линейкой получаются равные соответственные углы, поэтому прямые параллельны.

Ответ: построенная через точку прямая параллельна данной. Если угольник случайно повернуть, равенство соответственных углов уже не гарантируется. Поэтому при построении линейку удерживают неподвижно, а угольник именно перемещают вдоль неё.

Типичные ошибки

Ошибка — считать параллельными любые две прямые, которые на рисунке не пересекаются. Чертёж может быть неточным, а прямые могут находиться в разных плоскостях, то есть быть скрещивающимися. Такое впечатление возникает из-за условного изображения геометрических объектов. Проверьте, что рассматриваете прямые одной плоскости, и используйте данное условие или доказательство, а не только внешний вид.

Ошибка — путать соответственные и накрест лежащие углы. В обоих случаях рассматриваются углы, созданные одной секущей, но их расположение различается: соответственные стоят одинаково, а накрест лежащие находятся между прямыми по разные стороны секущей. Путаница появляется, если смотреть только на величину углов. Перед сравнением отметьте секущую и проверьте положение каждого угла относительно неё и обеих прямых.

Ошибка — считать, что равенство любой пары углов доказывает параллельность. Равными могут оказаться, например, углы при одном пересечении, и этого недостаточно для нужного признака. Обычно так ошибаются, запоминая только слово «равны» и забывая название пары. Спросите себя, являются ли углы соответственными или накрест лежащими; для внутренних односторонних проверьте, равна ли их сумма 180°.

Ошибка — сдвигать угольник без опоры на линейку или поворачивать его во время построения. Тогда направление стороны угольника изменится, а углы с исходным направлением могут стать другими. Это происходит, если линейку считают необязательной частью построения. Проверьте, что линейка остаётся на месте, угольник скользит вдоль неё без поворота, а нужная точка лежит на стороне, по которой проводится прямая.

Связь с другими темами

Для изучения параллельных прямых понадобятся знакомые понятия: прямая, точка пересечения прямых и угол. Нужно также уметь сравнивать углы и распознавать их положение на чертеже. Признаки параллельности помогают доказывать свойства геометрических фигур и решать задачи на углы. Например, если известно, что некоторые прямые параллельны, можно использовать образованные секущей пары углов, чтобы находить неизвестные величины.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Параллельность обозначают символом ∥.
• Секущая образует при пересечении прямых пары соответственных и накрест лежащих углов.
• Равенство соответственных углов служит признаком параллельности прямых.
• Равенство накрест лежащих углов служит признаком параллельности прямых.
• Параллельную прямую можно построить угольником и линейкой, перемещая угольник вдоль линейки.