§ 24. Вертикальные углы

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — это две прямые, имеющие общую точку. В этой точке они встречаются и образуют углы, вершина каждого из которых находится в точке пересечения. Это понятие нужно, чтобы описать расположение углов и понять, какие свойства можно применять.

Смежные углы — углы с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Противоположные лучи лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Определение помогает узнать пару углов рядом и использовать связь между их градусными мерами.

Вертикальные углы — углы с общей вершиной, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Иными словами, они расположены напротив друг друга при пересечении прямых. Это определение позволяет отличить такие углы от соседних и найти равный угол, даже если его величина не дана.

Теорема о вертикальных углах: вертикальные углы равны. Например, если стороны одного угла продолжить через вершину, то получится угол напротив него, и их градусные меры совпадут. Теорема нужна для вычислений: достаточно узнать меру одного угла, чтобы сразу найти вертикальный ему.

Как это устроено

При пересечении двух прямых возникает одна общая точка — вершина четырёх углов. Каждая сторона угла является частью одной из этих прямых, поэтому лучи, выходящие из вершины, образуют две пары противоположных лучей. Углы идут вокруг точки по очереди, и у каждого есть соседние и противоположный ему угол. Такое расположение даёт возможность сравнивать углы не на глаз, а по их сторонам.

Чтобы выделить смежные углы, найди два угла рядом: у них общая вершина и одна сторона. Две оставшиеся стороны должны быть противоположными лучами, то есть продолжать друг друга по прямой. Вертикальные углы, наоборот, находятся напротив: общей стороны у них нет, а стороны одного продолжают стороны другого. Проверяй именно направления сторон — близость или дальность на рисунке сама по себе не определяет вид пары.

Сумма смежных углов равна 180°, потому что вместе они заполняют пространство от одного противоположного луча до другого. Эти лучи образуют развернутый угол, градусная мера которого составляет 180°. Общая сторона лишь делит его на две части, поэтому меры частей складываются в меру целого. Отсюда следует: если один угол пары равен α, другой равен 180° − α.

Пусть вертикальные углы обозначены α и β, а один из углов рядом с ними — γ. Угол α смежен с γ, поэтому α + γ = 180°. Угол β тоже смежен с γ, поэтому β + γ = 180°. Если из равных сумм вычесть одну и ту же величину γ, останется α = β; так доказывается теорема о вертикальных углах.

Если известна мера одного угла, сначала найди противоположный: он равен данному по теореме. Затем вычисли каждый из двух соседних углов как разность 180° и известной меры. Эти соседние углы также вертикальны друг другу, поэтому их значения совпадают. Например, при угле 70° остальные равны 70°, 110° и 110°; проверка: сумма любых соседних мер составляет 180°.

Сравнение смежных и вертикальных углов

Сначала сравни расположение и стороны углов, а затем пользуйся последней строкой таблицы. Если углы имеют общую сторону, проверь, являются ли другие стороны противоположными лучами. Если углы находятся напротив, проверь, продолжают ли стороны одного угла стороны другого.

Разбор задач

Задача 1. Два угла образуют смежную пару. Один из них равен 64°. Найдите другой угол. Здесь не нужно искать угол напротив: по условию требуется второй угол той же смежной пары. Для такой пары сумма мер равна 180°.

1. Обозначим неизвестную меру через x.
2. Запишем сумму смежных углов: 64° + x = 180°.
3. Вычтем 64°: x = 180° − 64° = 116°.
4. Проверим: 64° + 116° = 180°.

Ответ: 116°.

Задача 2. При пересечении двух прямых один из углов равен 117°. Найдите остальные три угла. Сначала отделим угол напротив от двух углов рядом: напротив будет равный, а каждый соседний составит с данным развернутый угол. Так мы используем оба свойства и не перепутаем, где нужно вычитать из 180°.

1. Вертикальный к данному угол равен 117°.
2. Каждый из двух смежных углов равен 180° − 117° = 63°.
3. Проверим: два соседних угла вертикальны друг другу и равны, а 117° + 63° = 180°.

Ответ: 117°, 63° и 63°.

Задача 3. При пересечении прямых один угол на 36° больше смежного с ним угла. Найдите все четыре угла. Сначала найдём меры соседних углов, ведь они в сумме дают 180°. Условие о разнице поможет составить уравнение; после этого останется определить углы напротив найденных.

1. Пусть меньший угол равен x°, тогда больший равен (x + 36)°.
2. Составим уравнение: x + (x + 36) = 180.
3. Получим 2x = 144, значит, x = 72°. Больший угол равен 108°.
4. Вертикальные углы равны соответствующим найденным: к 72° — 72°, к 108° — 108°.
5. Проверим: 72° + 108° = 180°.

Ответ: 72°, 108°, 72° и 108°.

Типичные ошибки

Иногда вертикальными называют любые углы с общей вершиной. Общая вершина есть у всех четырёх углов при пересечении прямых, поэтому этого признака недостаточно. Ошибка возникает, если смотреть только на точку, а не на стороны. Проверь: стороны одного угла должны продолжать стороны другого.

Смежные углы путают с вертикальными, потому что обе пары встречаются у пересекающихся прямых. Но смежные расположены рядом и имеют общую сторону, а вертикальные — напротив и общей стороны не имеют. Чтобы проверить себя, найди общую сторону и проследи, куда направлены две оставшиеся. Противоположные лучи указывают на смежную пару.

Неверно считать, что смежные углы всегда равны. Их обязательное свойство — сумма 180°, а равными они бывают, например, при значении 90° каждый. Путаница возникает из-за сходного положения рядом. Проверка простая: сложи меры; равенство не требуется, но сумма должна составить 180°.

Ещё одна ошибка — искать вертикальный угол вычитанием из 180°. Вычитание нужно для угла, смежного с данным, а вертикальный равен ему. Ошибка появляется, когда не различают углы напротив и рядом. Перед вычислением отметь нужное положение: напротив — равенство, рядом — дополнение до 180°.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия угла, его вершины и сторон, луча и противоположных лучей. Они позволяют точно описать, как расположены углы при пересечении прямых. Также пригодится развернутый угол и умение измерять углы в градусах: именно его мерой объясняется сумма смежных углов. Равенство вертикальных углов используют в задачах на углы, при доказательствах и далее при изучении параллельных прямых.

Что запомнить

• Пересечение двух прямых образует четыре угла.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Вертикальные углы образованы продолжениями сторон друг друга.
• Вертикальные углы равны.
• Если известен один угол при пересечении прямых, вертикальный ему равен.
• Два угла, смежные с данным, также равны между собой.