1.10 Вертикальные углы

Определения и обозначения

Вертикальные углы — это пара углов, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Иными словами, углы образованы двумя пересекающимися прямыми и лежат друг напротив друга. По этому определению можно проверить, действительно ли выбранные углы вертикальные, а не просто кажутся противоположными на рисунке.

Смежные углы — два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются продолжениями одна другой. Вместе они образуют развёрнутый угол, поэтому сумма их величин равна 180°. Это свойство понадобится, чтобы доказать, что вертикальные углы равны, и находить углы рядом с известным.

Обозначим две пересекающиеся прямые AC и BD, а точку пересечения — O. Тогда вертикальные пары — ∠AOB и ∠COD, а также ∠BOC и ∠DOA. Для записи угла используют три буквы, причём буква вершины стоит посередине; названия помогают точно указать нужную пару даже без рисунка.

Как это устроено

При пересечении двух прямых AC и BD с общей точкой O получаются четыре угла: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD и ∠DOA. Противоположные углы образуют две вертикальные пары: ∠AOB с ∠COD и ∠BOC с ∠DOA. Между соседними углами получаются четыре смежные пары: ∠AOB и ∠BOC, ∠BOC и ∠COD, ∠COD и ∠DOA, ∠DOA и ∠AOB. Соседние пары имеют общую сторону, а противоположные общей стороны не имеют.

У вертикальных углов нет общей стороны, потому что они лежат по разные стороны от точки пересечения. Если взять стороны ∠AOB, лучи OA и OB, то продолжениями этих лучей будут OC и OD. Именно поэтому ∠COD напротив него и является вертикальным; без проверки продолжений одного лишь положения «напротив» недостаточно.

Докажем, что ∠AOB равен ∠COD. Угол ∠BOC смежен и с ∠AOB, и с ∠COD: в обоих случаях одна сторона общая, а две другие — противоположные лучи одной прямой. Значит, ∠AOB + ∠BOC = 180° и ∠COD + ∠BOC = 180°. Из равенства сумм и общего слагаемого следует, что ∠AOB = ∠COD.

Теорема о вертикальных углах утверждает: вертикальные углы равны. Поэтому, если величина одного угла известна, величину угла напротив него можно записать сразу, без вычислений. Например, вертикальный угол к углу 62° тоже равен 62°; это свойство удобно применять при решении задач по чертежу.

Для четырёх углов при пересечении прямых выполняются сразу два правила: противоположные углы попарно равны, а соседние в сумме дают 180°. Следовательно, две пары вертикальных углов равны внутри каждой пары, но разные пары не обязательно равны друг другу. При этом соседние углы могут быть разными: например, если один равен 47°, соседний равен 133°.

Углы при пересечении двух прямых

Сначала определи, как расположена пара: напротив или рядом. Затем выбери правило из последнего столбца — равенство для вертикальных углов или сумму 180° для смежных. Названия пар в таблице относятся к расположению углов, поэтому конкретные углы можно подставить по обозначениям на чертеже.

Разбор задач

Задача 1

Две прямые AC и BD пересекаются в точке O. На рисунке обозначены четыре угла: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD и ∠DOA. Нужно указать все пары вертикальных углов. Ищи не просто углы, которые выглядят противоположными, а пары, стороны которых попарно продолжают друг друга.

1. Рассмотрим ∠AOB: его стороны OA и OB продолжаются лучами OC и OD. Значит, противоположный ему угол — ∠COD, и эта пара вертикальная.

2. Оставшиеся углы — ∠BOC и ∠DOA. Стороны второго угла OD и OA продолжают стороны первого угла OB и OC, поэтому они тоже вертикальные.

3. Других пар нет: каждый из четырёх углов уже вошёл в одну из двух пар противоположных углов. Соседние пары вертикальными не являются, потому что имеют общую сторону.

Ответ: ∠AOB и ∠COD; ∠BOC и ∠DOA.

Задача 2

Один из углов при пересечении двух прямых равен 47°. Нужно найти его вертикальный угол и оба смежных угла. Сначала применим равенство вертикальных углов, а затем используем, что сумма смежных углов равна 180°. Это позволяет найти каждый неизвестный угол, не полагаясь на вид рисунка.

1. Вертикальный угол равен данному, то есть 47°. Это следует из теоремы о вертикальных углах.

2. Каждый из двух соседних углов смежен с данным углом. Поэтому его величина равна 180° − 47° = 133°.

3. Проверим результат: 47° + 133° = 180°, как и должно быть у смежной пары. Оба смежных угла равны, потому что каждый дополняет угол 47° до 180°.

Ответ: вертикальный угол — 47°, оба смежных угла — по 133°.

Задача 3

Вертикальные углы равны (3x + 12)° и (5x − 24)°. Требуется найти x и величины всех четырёх углов. Раз углы вертикальные, их величины равны, поэтому можно составить уравнение. После вычислений оставшуюся пару найдём как смежную с первой.

1. Приравняем выражения: 3x + 12 = 5x − 24. Перенесём числа и переменные: 36 = 2x, поэтому x = 18.

2. Подставим x в любое выражение: 3 · 18 + 12 = 66°. Второй вертикальный угол тоже равен 66°, что согласуется с условием.

3. Два других угла смежны с углом 66°. Каждый из них равен 180° − 66° = 114°.

Ответ: x = 18; углы равны 66°, 114°, 66° и 114°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать вертикальными любые углы, которые на рисунке расположены напротив. Так можно ошибиться, если чертёж неточный или прямые не продолжаются за вершину так, как кажется. Проверь, что углы образованы пересечением двух прямых и стороны одного попарно являются продолжениями сторон другого.

Ошибка: путать вертикальные и смежные углы. Это происходит потому, что оба вида встречаются у точки пересечения прямых; однако вертикальные лежат напротив, а смежные имеют общую сторону. Для проверки определи расположение: у вертикальной пары величины равны, у смежной сумма равна 180°.

Ошибка: искать только одну пару вертикальных углов при пересечении прямых. Обычно внимание сначала привлекает самая заметная пара, и про вторую забывают. Проверь все четыре угла: каждому углу соответствует один противоположный, поэтому получаются две пары.

Ошибка: принимать смежный угол за равный данному. Такое случается, если запомнить равенство вертикальных углов, но не проверить, какие именно углы сравниваются. Убедись, что угол напротив вертикален данному, а соседний должен дополнять его до 180°; сложи значения и проверь результат.

Связь с другими темами

Для изучения вертикальных углов нужны понятия угла, его сторон, пересекающихся прямых и смежных углов. Смежные углы дают правило 180°, которое используется в доказательстве равенства вертикальных; без него доказательство было бы неполным. Поэтому при решении задач полезно сначала распознать вид пары, а затем применить подходящее свойство.

Равенство вертикальных углов помогает составлять и решать уравнения, когда величины углов заданы выражениями. Оно также пригодится при доказательстве свойств геометрических фигур: иногда равенство углов появляется именно потому, что они вертикальные. Умение находить углы при пересечении прямых становится основой для более сложных задач.

Что запомнить

• Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых.
• Стороны одного вертикального угла являются продолжениями сторон другого.
• Вертикальные углы равны.
• При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.
• Смежные углы в сумме равны 180°.
• Если известен один угол при пересечении прямых, можно найти остальные три.