1.11 Перпендикулярные прямые

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это две пересекающиеся прямые, которые образуют прямые углы. Иначе говоря, при встрече такие прямые расположены так, что угол между ними равен 90°. Это определение помогает отличать перпендикулярные прямые от любых других пересекающихся: самого факта пересечения недостаточно.

Прямой угол — угол величиной 90°. Его можно распознать по указанной градусной мере или по специальной отметке на чертеже. Знание величины прямого угла позволяет проверять, перпендикулярны ли прямые, и находить остальные углы, если известен один из них.

Перпендикулярность обозначают знаком ⟂. Запись a ⟂ b означает, что прямые a и b перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом. Это короткая запись помогает передать свойство прямых без подробного описания и используется в решениях задач.

Как это устроено

При пересечении двух прямых образуются пары смежных углов. Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями одна другой, поэтому вместе они составляют развёрнутый угол величиной 180°. Если один из них равен 90°, второй равен 180° − 90° = 90°. Значит, соседний с прямым углом тоже оказывается прямым.

Углы, расположенные друг напротив друга при пересечении прямых, называются вертикальными. Такие углы равны, потому что каждый из них дополняет один и тот же смежный угол до 180°. Поэтому если один угол прямой, то и угол напротив него равен 90°. Вместе с уже найденным смежным углом это показывает, что прямыми стали все четыре угла.

Прямой угол на чертеже обычно отмечают маленьким квадратом, помещённым между его сторонами. Квадрат показывает не просто форму нарисованного угла, а точное условие: его величина равна 90°. Отметка особенно полезна, когда рисунок сделан от руки и линии выглядят не совсем точно. По ней можно делать выводы, даже если угол на картинке кажется чуть шире или уже.

Чтобы распознать перпендикулярные прямые на чертеже, сначала найди место их пересечения и проверь, указан ли прямой угол. Если в одном из образовавшихся углов стоит маленький квадрат, этот угол равен 90°, а значит, прямые перпендикулярны. То же следует из записи a ⟂ b рядом с прямыми. Отметка или запись являются геометрическими данными, а внешний вид рисунка сам по себе таким доказательством не служит.

Перпендикулярные прямые: признаки и обозначения

Пользуйся таблицей, чтобы сверить три вещи: пересекаются ли прямые, есть ли прямой угол и как записать перпендикулярность. Отметка квадратиком или знак ⟂ дают точную информацию, в отличие от одного лишь внешнего вида чертежа.

Разбор задач

Задача 1. Прямые a и b пересекаются, один из образовавшихся углов равен 90°. Определите, перпендикулярны ли прямые. Здесь уже дано главное условие определения — прямые пересекаются и образуют прямой угол.

1. Установим, что прямые a и b пересекаются.
2. Проверим величину одного из углов: 90° — это прямой угол.
3. Сопоставим данные с определением перпендикулярных прямых.

Ответ: да, a ⟂ b.

Задача 2. При пересечении прямых один угол равен 90°. Найдите величины остальных трёх углов. Чтобы найти соседний угол, используем свойство смежных углов; для противоположных применим равенство вертикальных углов.

1. Смежный с данным угол равен 180° − 90° = 90°.
2. Вертикальный к данному углу равен ему, то есть 90°.
3. Четвёртый угол вертикален найденному смежному, поэтому тоже равен 90°.

Ответ: каждый из остальных углов равен 90°.

Задача 3. На чертеже прямые m и n пересекаются; один из углов отмечен маленьким квадратом. Запишите обозначение перпендикулярности и объясните, какие ещё углы являются прямыми. Квадрат сообщает точную величину отмеченного угла, поэтому можно применить определение и свойства углов при пересечении.

1. Отметка означает, что один угол равен 90°.
2. Следовательно, пересекающиеся прямые m и n перпендикулярны: m ⟂ n.
3. Смежный угол равен 180° − 90° = 90°, а два вертикальных угла равны соответствующим углам.

Ответ: m ⟂ n; все остальные три угла также прямые.

Типичные ошибки

Ошибка: считать перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Такое заблуждение возникает, если смешать условие «пересекаются» с условием «пересекаются под прямым углом». Проверь себя: есть ли данные о величине угла или отметка прямого угла? Без них перпендикулярность не установлена.

Ошибка: делать вывод по внешнему виду чертежа. На рисунке угол может казаться прямым, но чертёж не всегда выполнен точно. Это легко упустить, если ориентироваться только на картинку. Ищи отметку квадратом, запись ⟂ или числовое значение угла.

Ошибка: считать прямым только угол с отметкой. Отметку могут поставить лишь у одного угла, и остальные легко забыть проверить. Используй свойства углов при пересечении: смежный с прямым углом тоже прямой, а вертикальные углы равны. Так ты убедишься, что прямы все четыре угла.

Ошибка: путать знак ⟂ со знаком параллельности. Это может произойти, если не запомнить значение символов. Сверь запись с тем, что она сообщает: a ⟂ b означает пересечение под прямым углом, а не отсутствие пересечения. При сомнении проговори запись словами.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что прямой угол равен 90°, а также понимать градусную меру углов. Пригодятся свойства смежных углов, сумма которых равна 180°, и вертикальных углов, которые равны друг другу. С их помощью из одного известного прямого угла можно получить величины остальных.

Перпендикулярность понадобится дальше, когда будут изучать перпендикуляр к прямой и расстояние от точки до прямой. Она также используется в геометрических построениях: прямой угол служит точным ориентиром для проведения линий. Поэтому важно уметь распознавать и обозначать такие прямые.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Прямой угол равен 90°.
• Перпендикулярность прямых обозначают знаком ⟂.
• Запись a ⟂ b читают: «прямая a перпендикулярна прямой b».
• Если один угол при пересечении прямых прямой, то и остальные три угла прямые.
• На чертеже прямой угол обычно отмечают маленьким квадратом.