§6. Перпендикулярные прямые

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые при пересечении образуют прямой угол. Если прямые обозначены буквами a и b, пишут a ⟂ b и читают: «a перпендикулярна b». Такое обозначение позволяет кратко указать, что угол между прямыми равен 90°.

Прямой угол — угол величиной 90°. На чертеже его часто отмечают маленьким квадратиком у вершины, чтобы показать точную величину, а не приблизительное сходство с прямым углом. Это помогает правильно читать чертёж и использовать обозначение в решении.

Перпендикуляр — отрезок, проведённый из точки к прямой под прямым углом. Точку, в которой отрезок пересекает прямую, называют основанием перпендикуляра. По этому отрезку видно, где именно точка соединена с прямой под углом 90°.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Сам перпендикуляр является отрезком, а расстояние — числом, которое показывает его длину. Это определение нужно, чтобы не принять за расстояние длину любого отрезка до прямой.

Как это устроено

Перпендикулярность определяется через прямой угол: двух прямых достаточно, чтобы проверить величину одного из углов при их пересечении. Если этот угол равен 90°, смежный с ним равен 180° − 90° = 90°, потому что смежные углы составляют 180°. Вертикальный угол равен исходному, а ещё один вертикальный угол также будет прямым. Значит, все четыре угла при пересечении прямых прямые, и прямые перпендикулярны.

На чертеже прямой угол отмечают специальным квадратиком, потому что изображение не всегда выполнено точно. Угол на глаз может казаться прямым, хотя его величина на самом деле отличается от 90°. Поэтому в задаче опирайся на условие или отметку, а не на то, как расположены линии на странице. Если квадратик поставлен, он сообщает точное свойство угла.

Через любую точку можно провести прямую, перпендикулярную данной. Для построения приложи одну сторону угольника к данной прямой, а затем передвигай угольник так, чтобы другая его сторона проходила через заданную точку. Проведи линию вдоль этой стороны: угол между полученной прямой и исходной будет прямым, поскольку стороны угольника образуют угол 90°. Квадратик у пересечения можно использовать как отметку результата.

Если точка не лежит на прямой, из неё к прямой можно опустить перпендикуляр. Проведи отрезок от точки до прямой так, чтобы он образовал с прямой угол; отрезок должен закончиться именно на прямой. Место, где он касается прямой, — основание перпендикуляра. Оно позволяет однозначно указать, откуда до какой точки измеряется отрезок.

Расстоянием от точки до прямой считают длину перпендикуляра, а не произвольного наклонного отрезка. Наклонный отрезок тоже может соединять точку с прямой, но он не образует с ней прямого угла. Поэтому сначала найди или построй прямой угол, затем определи перпендикуляр и только после этого измеряй его длину. Так расстояние определяется одним и тем же способом, а не зависит от выбранного наклона.

Основные понятия о перпендикулярности

Пользуйся таблицей, чтобы различать прямые, отрезок и число, которое задаёт расстояние. В задаче сначала определи, какое понятие требуется найти, а затем проверь, есть ли прямой угол. Если нужно указать расстояние, ответом будет длина перпендикуляра.

Разбор задач

Задача 1. Прямые a и b пересекаются, и один из образовавшихся углов равен 90°. Нужно определить, перпендикулярны ли прямые. Зная один угол, можно проверить остальные через свойства смежных и вертикальных углов.

1. Смежный с углом 90° угол равен 180° − 90° = 90°.
2. Вертикальный угол равен исходному, значит, он тоже равен 90°; четвёртый угол вертикален второму и также равен 90°.
3. При пересечении прямых образовался прямой угол, поэтому по определению прямые перпендикулярны.

Ответ: a ⟂ b.

Задача 2. Проведите через заданную точку прямую, перпендикулярную данной прямой. Для построения используют угольник; важно не просто провести линию через точку, а обеспечить прямой угол. После построения нужно проверить положение сторон угольника.

1. Приложите один катет угольника к данной прямой. Катет — одна из сторон прямого угла угольника.
2. Сдвигайте угольник вдоль прямой, пока второй катет не пройдёт через заданную точку.
3. Проведите вдоль второго катета прямую через точку. Проверьте, что стороны угольника образуют прямой угол в месте пересечения.

Ответ: построенная прямая перпендикулярна данной; на чертеже у угла можно поставить квадратик.

Задача 3. Из точки вне прямой проведены перпендикуляр и наклонный отрезок к этой прямой. Нужно указать расстояние от точки до прямой. У отрезков разные свойства: один образует с прямой прямой угол, другой подходит к ней наклонно.

1. Найди отрезок, у которого у места пересечения с прямой отмечен прямой угол.
2. Установи, что точка, где этот отрезок встречает прямую, является его основанием.
3. Возьми длину найденного перпендикуляра. Длину наклонного отрезка не используй, поскольку он не удовлетворяет определению.

Ответ: расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра.

Типичные ошибки

Ошибка: считать прямые перпендикулярными только потому, что на рисунке они выглядят так, будто пересекаются под прямым углом. Чертёж может быть неточным, и зрительная оценка не подтверждает величину 90°. Проверь условие или ищи квадратик у угла; если ни того ни другого нет, одного вида рисунка недостаточно.

Ошибка: называть перпендикуляром любой отрезок от точки до прямой. Так бывает, если замечают только то, что отрезок соединяет точку с прямой, и не проверяют угол. Убедись, что отрезок образует с прямой угол 90°; иначе это не перпендикуляр.

Ошибка: путать перпендикуляр с расстоянием от точки до прямой. Перпендикуляр — сам отрезок, а расстояние — его длина; эти понятия связаны, но не совпадают. Для проверки спроси себя, требуется назвать линию или числовую величину и указать, какой перпендикуляр измеряется.

Ошибка: неверно указывать основание перпендикуляра. Основанием иногда называют весь отрезок или точку, из которой он проведён, хотя это место пересечения перпендикуляра с прямой. Проверь: основание лежит на прямой и является концом перпендикуляра.

Связь с другими темами

Для изучения перпендикулярности нужны знакомые понятия: прямая, отрезок, угол, пересечение прямых и градусная мера угла. Свойства смежных и вертикальных углов помогают доказывать, что прямые перпендикулярны, если известен один угол при пересечении. Позже перпендикулярность пригодится при построениях циркулем и линейкой, в задачах на расстояние от точки до прямой и при изучении геометрических фигур. Поэтому навык распознавать прямой угол становится основой для следующих построений и рассуждений.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под углом 90°.
• Перпендикулярность обозначают знаком ⟂.
• Через любую точку можно провести прямую, перпендикулярную данной.
• Перпендикуляр из точки к прямой образует с ней прямой угол.
• Точка пересечения перпендикуляра с прямой называется основанием перпендикуляра.
• Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки.