12. Перпендикулярные прямые

Определения и обозначения

Прямые называют перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямой угол. Иначе говоря, их направления встречаются под углом 90°, а не просто пересекаются. Это определение позволяет точно отличить перпендикулярные прямые от остальных пар пересекающихся прямых. Оно пригодится, когда нужно описать взаимное расположение сторон фигуры или выполнить геометрическое построение.

Прямой угол — угол, равный 90°. Если при пересечении прямых один угол прямой, то остальные углы тоже прямые. Это поясняет, почему для проверки достаточно найти один угол в 90°, а не измерять все четыре. Свойство опирается на правила для смежных и вертикальных углов.

Запись a ⟂ b означает, что прямые a и b перпендикулярны. Знак ⟂ заменяет словесное описание и помогает коротко отмечать условие в решении. Буквами a и b здесь названы прямые, а не углы или отрезки. Такая запись особенно удобна в чертежах и геометрических рассуждениях.

Перпендикуляр к прямой — прямая, проведённая через заданную точку и перпендикулярная данной прямой. Точка задаёт место, через которое должна пройти новая прямая, а условие перпендикулярности — её направление. Это понятие нужно при построении перпендикуляра угольником. В данном параграфе рассматривается точка, лежащая на прямой.

Как это устроено

Перпендикулярность определяется через угол, потому что именно угол показывает, как направлены две пересекающиеся прямые относительно друг друга. Если величина угла между ними равна 90°, по определению прямые перпендикулярны. Если угол имеет другую величину, одного факта пересечения недостаточно для такого вывода. Поэтому при решении задач сначала ищут или вычисляют угол.

Пусть один из углов при пересечении прямых равен 90°. Соседний с ним угол — смежный, а сумма смежных углов всегда равна 180°. Значит, величина соседнего угла равна 180° − 90° = 90°. Именно свойство суммы объясняет, почему второй угол не может оказаться острым или тупым.

Два угла, лежащие друг напротив друга при пересечении прямых, называют вертикальными, и они равны. Поэтому угол, вертикальный к первому прямому углу, тоже равен 90°. Вместе с найденным смежным углом это даёт все четыре прямых угла вокруг точки пересечения. Таким образом, из одного прямого угла следуют три остальных.

Через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и такая прямая будет только одна. Существование можно проверить построением: поставь вершину прямого угла угольника в заданную точку и проведи линию вдоль другой стороны угольника. Единственность означает, что при тех же условиях нельзя получить вторую отличающуюся прямую с углом 90°. Это утверждение относится к точке на данной прямой.

Для проверки угольником его прямой угол совмещают с точкой пересечения проверяемых прямых. Затем стороны прямого угла располагают вдоль этих прямых. Если стороны совпали с направлениями обеих прямых, угол между ними составляет 90°, и прямые перпендикулярны. При измерении важно совместить именно вершину угольника с пересечением, иначе проверяется угол в другом месте.

Пересечение перпендикулярных прямых

Сначала найди в таблице нужный объект, например угол или количество перпендикуляров. Затем используй свойство для обоснования ответа, а не только для вычислений. Условие о точке на прямой учитывай отдельно: оно важно для утверждения о единственности.

Разбор задач

Задача 1

Прямые AB и CD пересекаются в точке O. Один из образовавшихся углов равен 90°. Определите, перпендикулярны ли прямые, и найдите остальные углы. Начинаем с угла, величина которого дана, и применяем определение перпендикулярных прямых. Чтобы найти остальные углы, используем свойства смежных и вертикальных углов.

1. Так как AB и CD пересекаются и образуют угол 90°, по определению прямые перпендикулярны.
2. Смежный с данным углом равен 180° − 90° = 90°.
3. Вертикальный к данному углу равен ему, то есть 90°; четвёртый угол смежный с первым и также равен 90°.

Получены все четыре угла при пересечении, и каждый из них прямой. Проверка: сумма любой пары смежных углов составляет 90° + 90° = 180°. Ответ: AB ⟂ CD; остальные углы равны 90°.

Задача 2

Прямые a и b пересекаются. Один из углов равен 38°. Найдите остальные углы и объясните, перпендикулярны ли прямые. Здесь нельзя объявлять прямые перпендикулярными только из-за того, что они пересекаются. Сначала вычислим остальные углы, а затем сравним их с 90°.

1. Смежный с углом 38° равен 180° − 38° = 142°.
2. Вертикальный к углу 38° также равен 38°.
3. Оставшийся угол вертикален углу 142°, поэтому тоже равен 142°.
4. Ни один угол не равен 90°, значит, прямые не перпендикулярны.

Здесь использованы оба правила: сумма смежных углов равна 180°, а вертикальные углы равны. Результаты 38° и 142° дают в сумме 180°, поэтому вычисления согласуются со свойством смежных углов. Ответ: остальные углы равны 142°, 38° и 142°; a и b не перпендикулярны.

Задача 3

Через точку M, лежащую на прямой a, проведите прямую, перпендикулярную a, и обоснуйте, почему такая прямая единственна. Нужно сначала построить линию с углом 90°, а затем указать, почему другая подходящая линия не существует. Условие, что M лежит на a, позволяет применить утверждение о перпендикуляре через точку прямой.

1. Приложите угольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с M.
2. Совместите одну сторону прямого угла с прямой a и проведите через M прямую вдоль другой стороны.
3. Полученная прямая образует с a угол 90°, значит, перпендикулярна ей.
4. Через точку прямой можно провести только один перпендикуляр к ней, поэтому построенная прямая единственна.

Угольник задаёт прямой угол, а точка M обеспечивает прохождение построенной прямой через нужное место. Если начертить ещё одну линию через M, она не сможет отличаться от уже полученной и одновременно образовывать с a прямой угол. Ответ: построить прямую через M по второй стороне прямого угла угольника; она единственна.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые пересекающиеся прямые перпендикулярными. Пересечение само по себе не сообщает величину угла, хотя это часто кажется очевидным на рисунке. Проверь, дан ли угол 90° или следует ли он из условий задачи. Если угол острый или тупой, прямые не перпендикулярны.

Ошибка: путать прямой угол 90° с развёрнутым углом 180°. Это разные углы: первый образует прямоугольный поворот, второй лежит на одной прямой. Путаница возникает, если смотреть только на цифры, не связывая их с видом угла. Для самопроверки вспомни: сумма двух смежных прямых углов — 180°, а каждый из них по отдельности равен 90°.

Ошибка: сразу считать все четыре угла прямыми, не установив, что хотя бы один из них равен 90°. Это свойство верно для перпендикулярных прямых, но сначала нужно обосновать перпендикулярность. Найди один прямой угол по условию или вычисли его, а затем примени свойства смежных и вертикальных углов. Если такого основания нет, вывод делать нельзя.

Ошибка: применять утверждение о перпендикуляре через точку прямой к точке вне прямой. Можно допустить это, если забыть условие о положении точки. Перед построением проверь, лежит ли заданная точка на данной прямой. Если она вне прямой, используй соответствующую задаче теорему, а не утверждение о точке на прямой.

Связь с другими темами

Для работы с перпендикулярными прямыми нужно знать виды углов, узнавать прямой угол и уметь измерять углы. Также необходимы свойства смежных и вертикальных углов: они помогают находить остальные углы после пересечения прямых. Позже перпендикулярность понадобится, когда будут изучаться расстояние от точки до прямой и высота треугольника. Угольник связывает геометрические определения с практическими построениями.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Прямой угол равен 90°.
• Если один угол при пересечении прямых прямой, то все четыре угла прямые.
• Смежные углы в сумме дают 180°.
• Через точку прямой проходит единственный перпендикуляр к ней.
• Запись a ⟂ b означает, что прямые a и b перпендикулярны.