16. Перпендикулярные прямые

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это пересекающиеся прямые, которые образуют четыре прямых угла, то есть угла по 90°. Запись a ⟂ b означает, что прямая a перпендикулярна прямой b. Это понятие помогает точно описать положение прямых, например при построениях и нахождении расстояний.

Перпендикуляр к прямой — отрезок прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной данной прямой. Его проводят, когда нужно соединить точку с прямой под прямым углом. Если точка лежит на прямой, она является концом отрезка перпендикуляра.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает прямую, к которой его провели. Например, если отрезок AB перпендикулярен прямой l и точка B лежит на l, то B — основание. Это название позволяет различать точку пересечения с прямой и точку, из которой проводят перпендикуляр.

Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Например, если AB перпендикулярен l, а B лежит на l, то расстояние от A до l равно длине AB. Такое определение задаёт одно конкретное значение, а не длину любого отрезка до прямой.

Как это устроено

При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов и пары смежных углов. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому если один равен 90°, то второй тоже равен 90°. Вертикальные углы равны углам напротив них, значит оставшиеся два также прямые. Поэтому для проверки перпендикулярности достаточно установить, что один из четырёх углов прямой.

Если задана точка на прямой, через неё можно провести прямую, образующую с данной прямой угол 90°. В школьной геометрии это утверждение о существовании перпендикуляра: такой перпендикуляр можно построить. Он только один, потому что через одну точку в заданном направлении проходит единственная прямая; два разных перпендикуляра образовали бы разные направления под прямым углом к той же прямой. Значит, через точку на прямой нельзя провести два перпендикуляра к ней.

Когда точка находится вне прямой, проводят от неё отрезок к прямой так, чтобы он встретил её под прямым углом. Конец отрезка на прямой будет основанием перпендикуляра, а сама заданная точка на прямой не лежит. Это отличается от предыдущей ситуации: там перпендикуляр проходит через точку, уже лежащую на прямой, а здесь отрезок соединяет внешнюю точку с прямой. В обоих случаях требуется угол 90° у места пересечения.

Из одной точки вне прямой можно провести много отрезков к разным точкам прямой, но только один из них перпендикулярен ей. Перпендикулярный отрезок короче любого наклонного отрезка, соединяющего ту же точку с прямой. Поэтому для измерения расстояния выбирают именно его, а не произвольное соединение: иначе результат зависел бы от того, к какой точке прямой провели отрезок. Длина перпендикуляра и есть расстояние от точки до прямой.

В записи a ⟂ b указывают перпендикулярность прямых; если говорят об отрезке, можно записать AB ⟂ l, имея в виду, что отрезок AB перпендикулярен прямой l. На чертеже прямой угол обычно отмечают небольшим квадратиком в углу, а не дугой, которой обозначают другие углы. Такая отметка показывает, что угол равен 90°, даже если чертёж выполнен не в точном масштабе. Знак перпендикулярности помогает обозначить условие и без слов.

Перпендикулярные прямые и перпендикуляр к прямой

Сравнивайте понятия по тому, что именно требуется найти: прямые, отрезок, точку пересечения или длину. В столбце «Главный факт» собраны свойства, которые помогают проверить ответ. Таблица подскажет, что отметить на чертеже и какое определение использовать.

Разбор задач

Задача 1. Две прямые пересекаются. Один из образовавшихся углов равен 90°. Определите, перпендикулярны ли прямые, и укажите величины остальных углов.

1. Обозначим данный угол как первый. Он равен 90° по условию.
2. Смежный с ним угол дополняет его до 180°, поэтому равен 180° − 90° = 90°.
3. Два оставшихся угла вертикальны двум уже рассмотренным углам. Вертикальные углы равны, значит каждый из них тоже равен 90°.
4. Все четыре угла прямые, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны; остальные углы равны 90° каждый. Здесь достаточно было начать с одного угла, потому что свойства смежных и вертикальных углов определяют величины всех остальных.

Задача 2. Дана прямая и точка на ней. Проведите через точку прямую, перпендикулярную данной, и обоснуйте, что построение задаёт единственный перпендикуляр.

1. Обозначим данную прямую l, а точку на ней — A.
2. Через A проведём прямую m так, чтобы один из углов между l и m был прямым. На чертеже отметим угол квадратиком.
3. По свойству смежных и вертикальных углов остальные углы при пересечении тоже прямые, поэтому m ⟂ l.
4. Теорема о перпендикуляре через точку на прямой утверждает, что такой перпендикуляр существует и единственен. Следовательно, через A нельзя провести другую прямую, перпендикулярную l.

Ответ: через точку A проводят единственную прямую, перпендикулярную l. Построение задаёт её, потому что прямая проходит через A и образует с l прямой угол.

Задача 3. Из точки A, не лежащей на прямой l, опустили перпендикуляр AB и провели наклонный отрезок AC к точке C на l. Укажите основание перпендикуляра и расстояние от A до l.

1. По условию AB перпендикулярен l, а его конец B лежит на l.
2. Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с прямой, поэтому это B.
3. Отрезок AC наклонный: он соединяет A с другой точкой прямой, но не образует прямого угла с l.
4. Расстояние от точки A до прямой l равно длине перпендикуляра AB, а не длине AC.

Ответ: основание — B; расстояние от A до l равно AB. Даже если AC нарисован рядом с перпендикуляром, его длину нельзя подставлять вместо расстояния.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые пересекающиеся прямые перпендикулярными. Прямые могут пересекаться под острым или тупым углом, поэтому самого факта пересечения недостаточно. Такую ошибку допускают, если ориентируются только на вид чертежа, который может быть неточным. Проверьте, есть ли угол 90° по условию или по обозначению прямого угла.

Ошибка: проверить один угол и сразу объявить все прямыми, не пояснив переход. Один угол сам по себе ещё не описывает остальные, если не применить свойства углов. Укажите, что смежный угол дополняет его до 180°, а вертикальный равен противоположному. Тогда проверка одного прямого угла действительно доказывает перпендикулярность.

Ошибка: назвать основанием перпендикуляра точку, из которой его проводят. Это путает начало отрезка с местом, где он встречает прямую; особенно легко ошибиться, если точка обозначена буквой у вершины чертежа. Найдите точку пересечения перпендикуляра с данной прямой: она и есть основание. Убедитесь, что эта точка лежит на прямой.

Ошибка: считать расстоянием длину наклонного отрезка от точки до прямой. Такой отрезок может быть проведён к любой точке прямой, поэтому его длина меняется. Расстоянием по определению служит длина перпендикуляра. Проверьте, отмечен ли у основания прямой угол; если нет, отрезок не задаёт искомое расстояние.

Связь с другими темами

Чтобы понять перпендикулярность, нужно знать, что такое прямой угол, а также свойства смежных и вертикальных углов. Смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные углы равны — именно это позволяет перейти от одного прямого угла к четырём. Обозначения прямых, точек и углов помогают записывать построение и объяснять решение, не полагаясь только на рисунок.

Перпендикулярность встречается при построении высот треугольника: высота проводится из вершины под прямым углом к противоположной стороне или её продолжению. Она также нужна, когда изучают расстояния в геометрии, поскольку расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру. Поэтому умение узнавать и строить перпендикуляр пригодится в следующих геометрических темах.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Если один из углов при пересечении прямых прямой, то прямые перпендикулярны.
• Через точку на прямой можно провести только один перпендикуляр к этой прямой.
• Основание перпендикуляра — точка его пересечения с прямой.
• Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, проведённого из точки к прямой.