17. Доказательство от противного

Определения и обозначения

Утверждение — мысль о геометрических объектах, истинность которой требуется доказать или опровергнуть. Например, фраза о том, что две прямые имеют общую точку, является утверждением. Это понятие нужно, чтобы точно понимать, какую мысль мы проверяем.

Отрицание утверждения — формулировка, в которой утверждается, что исходное утверждение неверно. Если утверждение говорит, что прямые пересекаются, его отрицание: прямые не пересекаются. Отрицание нужно сформулировать точно, иначе рассуждение может относиться не к тому, что требуется доказать.

Доказательство от противного — способ доказательства, при котором временно предполагают отрицание доказываемого утверждения и получают противоречие. Предположение используют только на время рассуждения, а не принимают как окончательный факт. Этот метод нужен, когда проще показать невозможность противоположного результата, чем сразу доказать нужный.

Противоречие — несовместимость полученного вывода с известным свойством, условием задачи или исходным предположением. Например, можно получить, что через две точки проходят две разные прямые, хотя известно, что такая прямая единственная. Противоречие служит сигналом, что временное предположение было неверным.

Как это устроено

Сначала нужно точно понять, какое утверждение требуется доказать, и какие условия уже даны. Затем формулируют его отрицание: это позволяет проверить, возможна ли ситуация, при которой доказываемое утверждение неверно. Если отрицание сформулировано расплывчато, дальнейший вывод может не опровергать его. Поэтому перед доказательством полезно проговорить обе формулировки и убедиться, что одна действительно отрицает другую.

После этого отрицание временно принимают за истинное. Это не означает, что мы уже согласились с ним: оно становится начальной точкой рассуждения, которую собираемся проверить. Из него, вместе с условием задачи, выводят новые следствия. Такой порядок позволяет проследить, к чему привело бы противоположное утверждение, если бы оно оказалось верным.

Следствия должны получаться по правилам геометрии: с помощью определений, аксиом и ранее доказанных теорем. Каждый шаг нужно обосновывать, чтобы было ясно, как именно из предположения возник вывод. Нельзя просто заявить, что «получается что-то невозможное»: надо показать конкретное свойство или соотношение, которое следует из рассуждения. Так доказательство остаётся проверяемым.

Затем полученный вывод сопоставляют с известным фактом. Например, он может противоречить условию задачи или аксиоме о единственности прямой, проходящей через две точки. Важен не просто необычный результат, а логическая несовместимость двух утверждений: они не могут быть верны одновременно. Когда такая несовместимость найдена, временное отрицание приводит к невозможной ситуации.

Раз отрицание приводит к противоречию, оно не может быть истинным при данных условиях. Значит, неверно предположение, с которого начали рассуждение, и исходное утверждение верно. При прямом доказательстве, напротив, начинают с условия и сразу выводят требуемое заключение. Доказательство от противного удобнее, когда прямой путь неясен, а противоположное утверждение быстро приводит к конфликту с известным фактом.

Этапы доказательства от противного

Пользуйся таблицей как планом доказательства: сначала выпиши утверждение и его точное отрицание, затем обоснуй каждый шаг вывода. В конце обязательно назови факт, которому противоречит результат. Только после этого можно сделать вывод об истинности исходного утверждения.

Разбор задач

Задача 1. Докажем, что две различные прямые не могут иметь более одной общей точки. Предположим обратное: у прямых есть две общие точки. Обозначим их A и B; через обе точки проходят обе прямые, но это невозможно, поскольку через две точки проходит единственная прямая. Значит, разные прямые имеют не более одной общей точки.

1. Требуется исключить случай, когда у двух различных прямых больше одной общей точки.
2. Предположим, что у прямых есть две общие точки A и B.
3. Обе прямые проходят через A и B.
4. По аксиоме через две точки проходит единственная прямая, поэтому эти прямые должны совпасть. Это противоречит условию, что они различны.

Ответ: две различные прямые не могут иметь более одной общей точки.

Задача 2. Докажем, что если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они не пересекаются. Перпендикулярные прямые образуют прямой угол. Если бы данные прямые пересекались, в точке пересечения через одну точку проходили бы два перпендикуляра к одной прямой, а такой перпендикуляр единственный. Полученное противоречие показывает, что пересечения быть не может.

1. Предположим, что две прямые, перпендикулярные одной прямой, пересекаются в точке O.
2. Через O и точку пересечения с общей прямой проходит каждый из этих перпендикуляров.
3. По свойству единственности через точку можно провести только один перпендикуляр к данной прямой. Значит, прямые должны совпасть, что несовместимо с их пересечением как двух различных прямых.
4. Предположение о пересечении приводит к противоречию.

Ответ: такие две различные прямые не пересекаются.

Задача 3. Докажем: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Пусть большему углу противолежит сторона a, а меньшему — сторона b. Предположим, что a не больше b, то есть a = b или a < b. Если стороны равны, то против них лежат равные углы; если a < b, то против a лежит меньший угол. Оба случая противоречат тому, что угол напротив a больше.

1. Пусть в треугольнике ∠A > ∠B, а против них лежат стороны a и b соответственно.
2. Для доказательства от противного предположим, что a ≤ b: сторона напротив большего угла не больше другой.
3. Если a = b, то равным сторонам противолежат равные углы, что противоречит ∠A > ∠B.
4. Если a < b, то по свойству треугольника против меньшей стороны лежит меньший угол. Тогда ∠A < ∠B, что также противоречит условию.
5. Оба возможных случая предположения невозможны, следовательно, a > b.

Ответ: против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Типичные ошибки

1. Предполагают не отрицание всего доказываемого утверждения, а случайное противоположное условие. Так бывает, когда формулировку меняют на ходу и не проверяют, действительно ли она отрицает исходную. В результате можно опровергнуть не то, что требовалось доказать. Проверь себя: перечисли, какие случаи включает утверждение, и убедись, что отрицание охватывает все варианты, когда оно неверно.

2. Считают противоречием просто неожиданный результат, не указывая, с каким фактом он несовместим. Необычный вывод может быть верным и сам по себе ничего не опровергает. Такая ошибка возникает, когда ученик перескакивает через обоснование последнего шага. Проверь себя: назови конкретное условие, аксиому или доказанную теорему, с которыми вывод нельзя совместить.

3. После получения противоречия продолжают рассуждение так, будто первоначальное предположение остаётся возможным. Тогда теряется смысл метода: временное предположение как раз нужно, чтобы показать его невозможность. Это часто происходит, если заключение не отделено от промежуточных шагов. Проверь себя: после противоречия явно отвергни отрицание и запиши исходное утверждение как вывод.

4. Путают доказательство от противного с прямым доказательством и не выделяют временное предположение. В прямом доказательстве из условия получают требуемое заключение, а здесь начинают с отрицания заключения. Путаница возникает, если не пометить, какие данные временные, а какие заданы в задаче. Проверь себя: найди в доказательстве фразу «предположим, что утверждение неверно» и убедись, что именно это предположение приводит к конфликту.

Связь с другими темами

Для доказательства от противного нужны определения, аксиомы и теоремы, изученные раньше: без них нельзя обосновать переходы и установить противоречие. Метод применяется при доказательстве свойств параллельных и перпендикулярных прямых, треугольников и неравенств. Он связан с логическими понятиями утверждения, отрицания и следствия: каждое следствие должно вытекать из предположения и известных фактов. Поэтому умение рассуждать логически помогает не только в геометрии.

Что запомнить

• В доказательстве от противного временно предполагают отрицание доказываемого утверждения.
• Из предположения должны следовать логически обоснованные выводы.
• Главная цель рассуждения — получить противоречие.
• Противоречие должно быть связано с условием, аксиомой или доказанной теоремой.
• Получение противоречия означает, что временное предположение неверно.
• После этого делают вывод об истинности исходного утверждения.
• Метод особенно удобен, когда прямой путь доказательства затруднён.