"Геометрия", Погорелов А.В.
Биссектриса угла — луч, который делит угол на две равные части. Она помогает не только находить равные углы, но и сравнивать расстояния от точки до сторон угла. Расстояние измеряют по перпендикуляру к прямой, содержащей сторону. Если точка лежит на биссектрисе, она равноудалена от сторон; верно и обратное для точки внутри угла. Эти свойства используют в геометрических доказательствах и вычислениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Например, если луч ОК делит угол АОВ, то углы АОК и КОВ равны. Это определение помогает проверить, действительно ли данный луч является биссектрисой: нужно сравнить именно углы, образованные этим лучом и сторонами исходного угла.
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Перпендикуляр пересекает прямую под прямым углом, то есть под углом 90°. Это важно, потому что отрезок, проведённый к прямой наклонно, обычно длиннее и расстоянием не считается.
Точка равноудалена от сторон угла, если её расстояния до прямых, содержащих эти стороны, равны. Поэтому из точки проводят перпендикуляры к двум прямым и сравнивают их длины. Такое понимание позволяет применять свойства биссектрисы, даже когда основание перпендикуляра попадает не на конечный отрезок стороны, а на её продолжение.
Пусть угол имеет вершину О, а его стороны — лучи ОА и ОВ. Луч ОК, выходящий из О и проходящий внутри угла, образует два меньших угла: АОК и КОВ. Если эти углы равны, весь угол разделён на две равные части, поэтому ОК называют биссектрисой. Само слово помогает запомнить назначение луча: он делит угол пополам, а не обязательно делит пополам какую-либо сторону фигуры.
Чтобы сравнить расстояния от точки К до сторон, из К проводят перпендикуляры к прямым ОА и ОВ. Обозначим основания перпендикуляров через М и N: тогда КМ перпендикулярен ОА, а КN перпендикулярен ОВ. Отрезки КМ и КN показывают нужные расстояния, поскольку каждый из них проведён под прямым углом к соответствующей прямой. Использовать только части лучей между вершиной и основаниями можно не всегда, поэтому рассматривают именно прямые, содержащие стороны.
Почему КМ и КN равны? Рассмотрим прямоугольные треугольники ОМК и ОNК. У них общая гипотенуза ОК, а углы МОК и КОN равны, потому что ОК — биссектриса; следовательно, прямоугольные треугольники равны. В равных треугольниках соответствующие стороны одинаковы, значит, КМ = КN. Это доказывает: любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
Можно рассуждать и в обратную сторону. Пусть внутренняя точка К равноудалена от сторон угла, а КМ и КN — перпендикуляры к прямым этих сторон; тогда КМ = КN. Треугольники ОМК и ОNК прямоугольные, имеют общую гипотенузу ОК и равные катеты, поэтому они равны. Из равенства треугольников следует равенство углов при вершине О, то есть ОК делит угол на две равные части и является биссектрисой. Условие о том, что точка находится внутри угла, помогает сделать именно такой вывод.
В доказательстве или вычислении сначала обозначь перпендикулярные расстояния, например КМ и КN. Если дана биссектриса, используй равенство образованных ею углов и признак равенства прямоугольных треугольников, чтобы установить КМ = КN. Если равными даны расстояния, начни с КМ = КN и примени обратное утверждение, предварительно проверив положение точки. Так становится ясно, какое свойство подходит к условию и что именно требуется доказать или найти.
| Условие | Что следует | Обоснование |
|---|---|---|
| Точка лежит на биссектрисе угла | Расстояния от точки до сторон угла равны | Равенство прямоугольных треугольников |
| Внутренняя точка угла равноудалена от его сторон | Точка лежит на биссектрисе угла | Обратное утверждение о биссектрисе |
Сначала найди в условии нужную строку: дана биссектриса или равные расстояния. Затем прочитай, какой вывод разрешено сделать, и используй указанное обоснование. Во втором случае обязательно проверь, что точка лежит внутри угла.
Задача 1. Точка лежит на биссектрисе угла. Расстояние от неё до одной стороны равно 4 см. Найдите расстояние до другой стороны.
Обозначим точку на биссектрисе через К, а расстояния до сторон — через КМ и КN. По условию одно из них равно 4 см. Поскольку К лежит на биссектрисе, её расстояния до сторон равны.
Запишем это свойство: КМ = КN. Значит, если, например, КМ = 4 см, то и КN = 4 см. Здесь не требуется находить углы или строить треугольники заново: достаточно применить установленное свойство.
Ответ: 4 см.
Задача 2. Внутренняя точка угла удалена от каждой из его сторон на 3 см. Определите, где она расположена относительно биссектрисы.
Обозначим точку через К, а перпендикулярные расстояния до сторон — КМ и КN. По условию КМ = 3 см и КN = 3 см, поэтому КМ = КN. Речь идёт о расстояниях до прямых, содержащих стороны угла.
Точка К находится внутри угла, а её расстояния до сторон равны. По обратному утверждению о биссектрисе такая точка лежит на биссектрисе. Следовательно, К расположена на биссектрисе данного угла.
Ответ: точка лежит на биссектрисе угла.
Задача 3. Из точки на биссектрисе угла опущены перпендикуляры на его стороны. Докажите, что основания перпендикуляров и вершина угла образуют равные прямоугольные треугольники.
Пусть О — вершина угла, К — точка на биссектрисе, а М и N — основания перпендикуляров на стороны. Рассмотрим треугольники ОМК и ОNК: углы при М и N прямые, поэтому оба треугольника прямоугольные. Отрезок ОК является их общей гипотенузой.
Угол МОК равен углу КОN, так как ОК — биссектриса. Значит, прямоугольные треугольники имеют равные гипотенузы и равные острые углы. По признаку равенства прямоугольных треугольников они равны.
Ответ: треугольники ОМК и ОNК равны.
Ошибка — считать расстоянием наклонный отрезок от точки к стороне. Так делают, потому что визуально измеряют кратчайший на вид путь, не проверяя угол. Проведи перпендикуляр к прямой стороны: только его длина является расстоянием.
Ошибка — сравнивать расстояния лишь до конечных отрезков сторон. Основание перпендикуляра может лежать на продолжении стороны, поэтому такой подход не охватывает все случаи. Проверяй, что расстояние проводится до прямой, содержащей сторону.
Ошибка — применять обратное утверждение к точке, не лежащей внутри угла. Равные расстояния сами по себе не дают нужного вывода без условия о положении точки. Перед применением свойства отметь точку и убедись, что она находится во внутренней области угла.
Ошибка — называть биссектрисой медиану или высоту. Эти понятия связаны с треугольником и его сторонами, поэтому их можно перепутать по рисунку. Проверь определение: биссектриса выходит из вершины угла и делит сам угол на две равные части.
Для работы с биссектрисой нужны понятия угла, луча, перпендикуляра и расстояния от точки до прямой. Доказательство свойства опирается на равенство прямоугольных треугольников — этот приём пригодится и в других задачах. Позже свойство используют при изучении биссектрис треугольника. Вместе прямое и обратное утверждения описывают геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.
Биссектриса делит угол на два равных угла.
Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру.
Каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
Внутренняя точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Сторону угла для измерения расстояния рассматривают как прямую.
Как определить, что луч является биссектрисой угла?
Луч должен исходить из вершины угла и делить его на два равных угла. Если образовавшиеся углы равны, этот луч и есть биссектриса.
Как измерить расстояние от точки до стороны угла?
Из точки опускают перпендикуляр на прямую, содержащую сторону. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние.
Почему точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла?
Перпендикуляры из точки к сторонам вместе с вершиной угла образуют два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза и равные углы при вершине, поэтому треугольники равны, а их перпендикуляры равны.
Верно ли обратное утверждение о равноудалённой точке?
Да, если точка находится внутри угла и её расстояния до прямых, содержащих стороны, равны. Тогда она лежит на биссектрисе угла.
Можно ли применять свойство биссектрисы к точке вне угла?
Обратное утверждение применяют к точке во внутренней области угла. Для точки вне угла нельзя делать вывод о биссектрисе только по равенству расстояний: сначала нужно проверить её расположение.
18. Биссектриса угла
