§ 5. Перпендикулярные прямые

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это пересекающиеся прямые, которые образуют прямой угол. Прямой угол равен 90°, поэтому перпендикулярные прямые пересекаются под углом 90°. Перпендикулярность прямых a и b обозначают так: a ⟂ b.

Перпендикулярные отрезки — это отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых и пересекающиеся под прямым углом. Для них также можно сказать, что угол между отрезками равен 90°. Такое понятие позволяет говорить о перпендикулярности конечных частей прямых, а не только о бесконечных прямых.

Перпендикуляр к прямой — это отрезок, проведённый из данной точки к прямой под углом 90°. Конец отрезка, лежащий на прямой, называют основанием перпендикуляра. Например, если AB перпендикулярен l, то B — основание перпендикуляра AB на прямой l.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Из всех отрезков, соединяющих точку с точками данной прямой, именно этот отрезок самый короткий. Поэтому для измерения расстояния выбирают не любой отрезок, а перпендикуляр.

Как это устроено

Пусть две прямые пересеклись и один из углов оказался прямым. Вертикальный ему угол равен ему по свойству вертикальных углов, значит, он тоже равен 90°. Каждый из двух соседних углов смежен с уже известным прямым углом, поэтому их сумма с ним равна 180°, а каждый из них также равен 90°.

Так появляются четыре прямых угла, хотя сначала мы установили величину только одного. Поэтому для доказательства перпендикулярности не требуется измерять все углы. Достаточно показать, что прямые пересекаются и хотя бы один угол между ними равен 90°.

Прямую, перпендикулярную данной, проводят угольником. Если заданная точка лежит на данной прямой, одну сторону прямого угла угольника совмещают с прямой, а по другой стороне проводят линию через точку. Если точка находится вне прямой, угольник прикладывают так, чтобы одна его сторона проходила через точку, а другая совпала с данной прямой.

Через одну точку нельзя провести две разные прямые, каждая из которых перпендикулярна одной и той же прямой: при таком построении получилась бы невозможная для плоскости ситуация с двумя разными направлениями прямого угла. Поэтому перпендикуляр единственный. В прямоугольном треугольнике, который образуется перпендикуляром и наклонной, наклонная является гипотенузой и потому длиннее катета-перпендикуляра.

Перпендикулярные прямые и связанные с ними понятия

Сначала определите, о каком объекте говорится: о прямых, отрезках или отрезке от точки к прямой. Затем проверьте угол и найдите основание, если речь идёт о перпендикуляре. Для расстояния используйте длину именно перпендикуляра, а не произвольной наклонной.

Разбор задач

Задача 1

Условие: прямые a и b пересекаются, один из образовавшихся углов равен 90°. Определите остальные углы и расположение прямых.

1. Угол, вертикальный данному, равен ему, поэтому тоже равен 90°.
2. Каждый соседний угол образует с данным смежную пару. Его величина равна 180° − 90° = 90°.
3. Все четыре угла прямые, значит, прямые a и b перпендикулярны.

Ответ: остальные три угла равны 90°; a ⟂ b.

Задача 2

Условие: из точки A вне прямой l проведены перпендикуляр AB и наклонная AC. Сравните AB и AC.

1. Точка B лежит на l, а AB образует с l прямой угол.
2. Точки A, B и C образуют прямоугольный треугольник, где AC — сторона, противоположная прямому углу.
3. AC является гипотенузой, поэтому она длиннее катета AB.

Ответ: AB < AC.

Задача 3

Условие: один из углов при пересечении перпендикулярных прямых равен 3x + 6°. Найдите x и величины остальных углов.

1. При перпендикулярности данный угол равен 90°, поэтому 3x + 6 = 90.
2. Вычитаем 6: 3x = 84. Делим на 3 и получаем x = 28.
3. После подстановки угол равен 3 · 28 + 6 = 90°. По свойствам вертикальных и смежных углов остальные углы также равны 90°.

Ответ: x = 28; все четыре угла равны 90°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые пересекающиеся прямые перпендикулярными. Пересечение само по себе не означает угол 90°: прямые могут образовать острые и тупые углы. Проверьте величину хотя бы одного угла.

Ошибка: проверять все четыре угла, чтобы доказать перпендикулярность. Это лишняя работа, потому что вертикальные углы равны, а смежные с прямым углом тоже прямые. Достаточно установить один угол 90°.

Ошибка: путать перпендикулярную прямую и перпендикуляр. Прямая продолжается в обе стороны, а перпендикуляр из точки рассматривают как отрезок до данной прямой. Проверьте, есть ли у названного объекта конечный конец на прямой.

Ошибка: принимать длину наклонной за расстояние от точки до прямой. Наклонная соединяет точку с прямой под непрямым углом и длиннее перпендикуляра. Найдите отрезок, образующий угол 90°, и измеряйте его.

Связь с другими темами

Перед изучением перпендикулярности нужно знать, что такое прямой, смежные и вертикальные углы, а также помнить их свойства. Именно они объясняют, почему одного прямого угла достаточно для вывода о перпендикулярности всех четырёх углов.

Перпендикуляры используются при изучении расстояний и высот в треугольнике: высота также проводится под прямым углом к стороне или её продолжению. Эти знания нужны и в геометрических построениях, а позже помогают применять признаки равенства фигур.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Если один из углов при пересечении прямых равен 90°, то все четыре угла прямые.
• Через заданную точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.
• Перпендикуляр к прямой образует с ней угол 90°.
• Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра.
• Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки.