"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
При пересечении прямых образуются углы, связанные друг с другом особым образом. Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны направлены в противоположные стороны; вместе они составляют 180°. Вертикальные углы расположены напротив друг друга и всегда равны. Эти свойства помогают находить неизвестные углы, проверять вычисления и решать задачи о пересекающихся прямых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Смежные углы — это два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. На чертеже найдите общую сторону, а затем проверьте, лежат ли остальные стороны на одной прямой и направлены ли в разные стороны. Это определение помогает отличить смежные углы от любых двух углов, которые просто соприкасаются.
Вертикальные углы — это два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. При пересечении двух прямых такие углы находятся напротив друг друга, а не рядом. По расположению и продолжению сторон их можно узнать даже без числовых обозначений.
Противоположные лучи — лучи с общей начальной точкой, которые лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Именно такие лучи образуют две стороны смежных углов, не являющиеся общими. Если стороны не продолжают друг друга по одной прямой, углы не будут смежными.
Развёрнутый угол — угол, стороны которого являются противоположными лучами. Его величина равна 180°. Поэтому, когда два смежных угла расположены рядом, их внутренние части вместе дают развёрнутый угол.
У смежных углов одна сторона общая, а две другие продолжают друг друга и образуют прямую линию. Если двигаться внутри сначала одного угла, а затем другого, получится поворот от одного противоположного луча до другого. Такой поворот составляет развёрнутый угол, поэтому сумма смежных углов равна 180°.
Это свойство позволяет находить неизвестный угол без измерения транспортиром. Если один из смежных углов равен α, обозначьте второй за x и запишите α + x = 180°. Отсюда x = 180° − α: из величины развёрнутого угла вычитают уже известную часть.
Вертикальные углы равны, хотя у них нет общей стороны. Чтобы понять почему, назовите один из углов A, противоположный ему — C, а один из соседних — B. Угол A и угол B смежные, поэтому A + B = 180°; угол C и тот же B тоже смежные, поэтому C + B = 180°. Если из обеих сумм вычесть B, останется A = C.
Чтобы различить эти виды углов, сначала смотрите на общую вершину, а потом проверяйте стороны. Для смежных нужна общая сторона и две противоположные другие стороны; такие углы стоят рядом. Для вертикальных общая сторона не нужна: достаточно, чтобы стороны одного угла продолжали стороны другого и углы находились напротив.
При пересечении двух прямых получаются четыре угла. Каждый угол смежен с двумя соседними, а с расположенным напротив образует пару вертикальных углов. Поэтому, зная величину одного угла, можно найти противоположный по равенству, а оба соседних — вычитанием из 180°; эти два соседних угла также равны друг другу.
| Признак | Смежные углы | Вертикальные углы |
|---|---|---|
| Расположение | Рядом друг с другом | Напротив друг друга при пересечении прямых |
| Общие элементы | Общая вершина и общая сторона | Общая вершина |
| Как связаны стороны | Две необщие стороны — противоположные лучи | Стороны одного угла продолжают стороны другого |
| Основное свойство | Сумма равна 180° | Углы равны |
| Как найти неизвестный угол | Вычесть известный угол из 180° | Взять угол, равный данному вертикальному |
Сначала пользуйтесь строками о расположении и сторонах: они помогают определить вид пары. Затем выберите соответствующее свойство — сумму 180° для смежных или равенство для вертикальных. Если на рисунке пересекаются прямые, применяйте оба свойства по очереди.
Задача 1. Один из смежных углов равен 68°. Найдите второй угол. По определению смежные углы вместе образуют развёрнутый угол, значит, их сумма составляет 180°. Искомую величину найдём как разность между 180° и известным углом.
Ответ: 112°. Проверка подтверждает, что найденные углы могут быть смежными.
Задача 2. При пересечении двух прямых один угол равен 47°. Найдите остальные три угла. Сначала используем равенство вертикальных углов, чтобы найти угол напротив. Два оставшихся угла смежны с данным, поэтому их можно вычислить по сумме 180°.
Ответ: остальные углы равны 47°, 133° и 133°. Всего при пересечении получились два угла по 47° и два по 133°.
Задача 3. Два смежных угла равны (3x + 10)° и (5x − 6)°. Найдите x и величины углов. Поскольку углы смежные, их сумма равна 180°. Составим уравнение, подставив вместо углов выражения из условия.
Ответ: x = 22; углы равны 76° и 104°. Проверка по сумме подтверждает, что ответ соответствует условию о смежных углах.
Иногда смежными называют любые углы с общей стороной. Так думают потому, что углы на чертеже выглядят соседними, но этого признака недостаточно. Проверьте, что две другие стороны — противоположные лучи; если они не лежат на одной прямой, углы не смежные.
Вертикальные углы могут ошибочно принять за углы с общей стороной. Это происходит, когда ориентируются только на то, что углы находятся около одной вершины. Проследите направления сторон: у вертикальных углов стороны продолжают друг друга, а сами углы расположены напротив и общей стороны не имеют.
Неверно считать, что сумма вертикальных углов равна 180°. Сумма 180° относится к смежным углам, а вертикальные углы равны; путаница появляется из-за того, что все они образованы одними и теми же прямыми. Для проверки найдите угол, смежный с одним из вертикальных: именно он вместе с ним даёт 180°.
При вычислении иногда вычитают из 180° не тот угол или неправильно составляют уравнение. Причина обычно в том, что не определили, какая именно пара смежная. Перед вычислением обозначьте пару и запишите её сумму: для чисел это α + x = 180°, а для выражений — сумма этих выражений равна 180°.
Чтобы разобраться в этой теме, нужно знать, что такое угол, его вершина и стороны, луч и прямая. Также понадобится развёрнутый угол: его стороны — противоположные лучи, а величина равна 180°. Эти понятия позволяют узнавать смежные углы и обосновывать их свойство.
Смежные и вертикальные углы помогают решать задачи, в которых пересекаются прямые: по одному углу можно определить остальные. Их свойства также используют при доказательстве геометрических утверждений. Умение различать пары углов пригодится и в задачах, где нужно сначала составить уравнение, а затем проверить полученный результат.
Какие углы называются смежными?
Смежные углы имеют общую вершину и общую сторону. Две другие стороны этих углов — противоположные лучи, поэтому смежные углы вместе образуют развёрнутый угол.
Почему сумма смежных углов равна 180°?
Две общие внутренние части смежных углов составляют развёрнутый угол. Его величина равна 180°, поэтому и сумма смежных углов равна 180°.
Какие углы называются вертикальными?
Вертикальными называют углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. При пересечении двух прямых такие углы лежат напротив друг друга и не имеют общей стороны.
Почему вертикальные углы равны?
Каждый из двух вертикальных углов смежен с одним и тем же соседним углом. Оба вместе с ним составляют 180°, значит, величины этих углов одинаковы.
Как найти все углы, образованные при пересечении двух прямых?
Сначала определите угол, вертикальный данному: он равен ему. Каждый из двух оставшихся углов смежен с известным, поэтому его величина равна 180° минус величина известного угла.
§ 4. Смежные и вертикальные углы
