"Геометрия", Погорелов А.В.
Смежные и вертикальные углы возникают, когда лучи образуют прямую или две прямые пересекаются. Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны продолжают одна другую, поэтому их сумма равна 180°. Вертикальные углы расположены напротив друг друга и равны. Эти свойства помогают быстро находить неизвестные углы и решать задачи о пересекающихся прямых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Смежными называют два угла с общей вершиной и общей стороной, если две другие стороны являются продолжениями одна другой. Иначе говоря, эти стороны — противоположные лучи, направленные в разные стороны по одной прямой. Такое определение помогает отличить смежные углы от любых углов, которые просто имеют общую сторону.
Развернутый угол — это угол, стороны которого являются противоположными лучами. Его величина равна 180°, потому что он образует половину полного оборота вокруг вершины, а полный оборот равен 360°. Понятие развернутого угла позволяет понять, почему величины смежных углов связаны между собой.
Вертикальными называют углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Такие углы появляются, когда пересекаются две прямые, и располагаются друг напротив друга. Это определение нужно, чтобы распознавать пары углов, величины которых можно сравнить без измерения.
У смежных углов есть общая сторона, а две остальные лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Если пройти от одной из этих сторон до другой через общую сторону, получится развернутый угол. Его величина составляет 180°, поэтому величины двух частей складываются в 180°. Значит, если один смежный угол равен α, то другой равен 180° − α.
Если один из смежных углов острый, его величина меньше 90°. Чтобы вместе с ним получить 180°, второй угол должен быть больше 90°, то есть тупым. Например, при остром угле 40° второй равен 180° − 40° = 140°. Поэтому смежные углы такого вида дополняют друг друга до 180°, а не до 90°.
При пересечении двух прямых вокруг общей точки получаются четыре угла. Углы, расположенные напротив друг друга, составляют первую пару вертикальных углов; два оставшихся угла образуют вторую пару. Каждая соседняя пара имеет общую сторону, а две другие стороны — противоположные лучи, поэтому соседние углы смежные. Так расположение сразу показывает, какие углы сравнивать как вертикальные, а какие складывать как смежные.
Чтобы доказать равенство вертикальных углов, возьмём два угла напротив друг друга и один из углов рядом с ними. Первый вертикальный угол смежен с выбранным соседним углом, поэтому их сумма равна 180°. Второй вертикальный угол смежен с тем же самым углом, и их сумма тоже равна 180°. Если из 180° вычесть одну и ту же величину, получатся одинаковые числа, значит, вертикальные углы равны.
Если известен один угол при пересечении прямых, сначала найдём угол напротив: он вертикальный и равен данному. Затем найдём два соседних угла: каждый смежен с известным, поэтому его величина равна 180° минус величина известного угла. Например, если дан угол 124°, противоположный тоже равен 124°, а оба соседних равны 180° − 124° = 56°. Получаются четыре угла: 124°, 56°, 124° и 56°.
| Характеристика | Смежные углы | Вертикальные углы |
|---|---|---|
| Расположение углов | Соседствуют, имеют общую сторону | Находятся напротив друг друга |
| Что общего у сторон | Одна сторона общая, две другие — противоположные лучи | Стороны одного угла являются продолжениями сторон другого |
| Связь величин | Сумма равна 180° | Углы равны |
| Как найти угол по величине другого | Вычесть величину данного угла из 180° | Взять такую же величину |
Сначала определи по расположению, смежные перед тобой углы или вертикальные. Для смежных используй сумму 180°, а для вертикальных — равенство величин. Если нужно найти все углы при пересечении прямых, примени оба правила.
Задача 1. Один из двух смежных углов равен 68°. Найдите второй угол. Поскольку углы смежные, они вместе образуют развернутый угол. Значит, их сумма должна быть 180°, и неизвестный угол можно найти вычитанием.
Ответ: 112°.
Задача 2. При пересечении двух прямых один из углов равен 124°. Найдите величины остальных углов. Сначала используем расположение углов: напротив данного находится равный ему вертикальный угол. Два оставшихся угла соседствуют с данным, поэтому каждый из них смежный с углом 124°.
Ответ: остальные углы — 124°, 56° и 56°.
Задача 3. Два смежных угла заданы выражениями 3x + 10° и 5x + 10°. Найдите x и величины углов. Так как углы смежные, складываем их выражения и приравниваем сумму к 180°. После решения уравнения подставляем найденное значение x в каждое выражение.
Ответ: x = 20; углы равны 70° и 110°.
Ошибка — считать смежными любые два угла с общей стороной. Общая сторона сама по себе недостаточна: две другие стороны должны быть противоположными лучами. Такую ошибку допускают, когда судят только по тому, что углы стоят рядом. Проверь, лежат ли нескомпадающие стороны на одной прямой и направлены ли они в разные стороны.
Ошибка — приравнивать смежные углы. Они могут иметь разные величины; их обязательное свойство состоит в том, что сумма равна 180°. Равенство иногда ошибочно переносят со свойства вертикальных углов. Проверка простая: складывай величины смежной пары, а не сравнивай их.
Ошибка — путать вертикальные углы с соседними. Вертикальные расположены напротив друг друга, а соседние имеют общую сторону и являются смежными, если их другие стороны — противоположные лучи. Путаница возникает, когда не прослеживают стороны углов. Найди вершину пересечения и проверь, продолжаются ли стороны одного угла в стороны другого.
Ошибка — искать смежный угол вычитанием из 90°. Число 90° относится к прямому углу, а смежная пара образует развернутый угол величиной 180°. Это правило легко перепутать, если помнить только слово «дополняют». Перед вычислением проверь, образуют ли углы прямую; для смежных вычитай из 180°.
Чтобы разбираться в смежных и вертикальных углах, нужно знать, что такое угол, луч и прямая, а также уметь читать градусную меру угла. Понадобится и понятие противоположных лучей: это лучи с общей вершиной, лежащие на одной прямой и направленные в разные стороны. Без него нельзя проверить, являются ли два угла смежными.
Равенство вертикальных углов пригодится при решении задач, где пересекаются прямые и нужно сравнить углы. Оно также помогает доказывать равенство углов, даже если их величины заранее неизвестны. Для этого достаточно показать, что они расположены напротив друг друга при пересечении прямых.
Свойство смежных углов используют при изучении параллельных прямых и в других геометрических задачах. Оно помогает составлять уравнения, когда величины углов заданы выражениями. Умение сочетать это свойство с равенством вертикальных углов позволяет находить углы в сложных чертежах.
Как понять, что два угла смежные?
У смежных углов одна общая сторона, а две остальные стороны — противоположные лучи, то есть вместе составляют прямую. Поэтому такие углы соседствуют и вместе образуют развернутый угол.
Почему сумма смежных углов равна 180°?
Их нескомпадающие стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Вместе с общей стороной углы составляют развернутый угол, величина которого равна 180°.
Какие углы называют вертикальными?
Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и находятся друг напротив друга. Стороны одного такого угла являются продолжениями сторон другого.
Почему вертикальные углы равны?
Каждый из двух вертикальных углов смежен с одним и тем же соседним углом. Оба угла вместе с ним дают 180°, значит, каждый равен 180° минус величина общего соседнего угла.
Как найти все углы, если известен один угол при пересечении двух прямых?
Вертикальный к известному углу равен ему. Каждый из двух соседних углов смежен с известным, поэтому его величину находят вычитанием из 180°.
§ 2. Смежные и вертикальные углы
