"Геометрия", Погорелов А.В.
Смежные углы имеют общую вершину и одну общую сторону, а две другие стороны направлены в противоположные стороны и образуют прямую. Поэтому такие углы вместе составляют развёрнутый угол, равный 180°. Это свойство помогает находить неизвестную градусную меру, составлять уравнения и проверять решения задач. Но одной суммы 180° недостаточно, чтобы назвать углы смежными: нужно учитывать, как расположены их стороны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Противоположные лучи — это два луча с общим началом, лежащие на одной прямой и направленные в разные стороны. Представь прямую и точку на ней: из этой точки можно провести луч вправо и луч влево. Это понятие нужно, чтобы точно описать стороны углов, которые образуют прямую.
Развёрнутый угол — угол, стороны которого являются противоположными лучами; его градусная мера равна 180°. Его можно представить как поворот от одного луча до другого по прямой. Развёрнутый угол служит мерой, с которой сравнивают сумму двух углов, расположенных рядом.
Смежные углы — два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны — противоположные лучи. Иными словами, углы расположены рядом, а их внешние стороны продолжают одна другую в прямую. Это определение позволяет отличить смежные углы от любых двух углов, которые просто имеют общую вершину или дают в сумме 180°.
Чтобы определить, смежные ли два угла, сначала найди их общую вершину и общую сторону. Затем посмотри на две стороны, которые не являются общими: они должны лежать на одной прямой и смотреть в противоположные стороны. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, углы не смежные. Так проверяется именно расположение углов, а не только числа, которыми обозначены их меры.
У смежных углов общая сторона делит развёрнутый угол на две части. Если сложить эти части, получится весь развёрнутый угол, а его мера равна 180°. Поэтому, обозначив меры углов через α и β, получаем равенство α + β = 180°. Причина этого свойства — в том, что углы вместе заполняют ровно угол между противоположными лучами.
Если известна мера одного из смежных углов, второй находят вычитанием из 180°. Например, при известном угле 68° второй равен 180° − 68° = 112°. Вычитание нужно потому, что известная и неизвестная части вместе должны дать 180°. После вычисления можно сложить меры и убедиться, что получилась мера развёрнутого угла.
Сумма двух мер, равная 180°, ещё не доказывает, что углы смежные. Например, два угла могут быть расположены в разных местах и не иметь ни общей вершины, ни общей стороны. Даже при общей вершине и стороне нужно проверить, что необщие стороны являются противоположными лучами. Значит, для смежности нужны и геометрические условия, и соответствующее расположение.
Если неизвестную меру обозначить буквой, равенство 180° превращается в уравнение. Например, для углов 3x° и 6x° записывают 3x + 6x = 180, затем находят x и вычисляют сами углы. Решение должно описывать допустимые градусные меры: угол не может иметь отрицательную меру. Поэтому после решения проверяют найденное значение и сумму получившихся углов.
| Что рассматриваем | Условие или свойство |
|---|---|
| Общая вершина и сторона | Углы имеют одну вершину и одну общую сторону. |
| Две остальные стороны | Это противоположные лучи, лежащие на одной прямой. |
| Сумма градусных мер | Сумма мер смежных углов равна 180°. |
| Нахождение неизвестного угла | Из 180° вычитают известную меру или составляют уравнение. |
Первые две строки помогают проверить, являются ли углы смежными по определению. Третья строка даёт свойство, которым пользуются в вычислениях. В последней указано, как применить это свойство, если одна мера неизвестна.
Нужно найти оставшуюся часть развёрнутого угла. Поскольку углы смежные, их меры складываются до 180°. Значит, достаточно вычесть известную меру из 180°.
Ответ: 112°. Проверка: 68° + 112° = 180°, как и должно быть для смежных углов.
Буква x задаёт общую часть обеих мер, поэтому складываем выражения 3x и 6x. Их сумма должна быть 180°, так как углы смежные. После решения уравнения подставим найденное значение в каждое выражение и проверим результат.
Ответ: x = 20; углы равны 60° и 120°. Такая проверка подтверждает, что найденные значения подходят условию о сумме.
Два условия из определения уже выполнены: вершина и сторона общие. Но определение требует ещё одного условия о двух оставшихся сторонах. Поэтому нужно выяснить, являются ли они противоположными лучами; одна только сумма мер ответа не даёт.
Ответ: не обязательно. Углы будут смежными только в том случае, если их необщие стороны — противоположные лучи.
Ошибка: считать смежными любые углы с общей вершиной и стороной. Так думают, потому что углы выглядят соседними, но этого недостаточно: их необщие стороны могут не образовывать прямую. Проверь, лежат ли эти стороны на одной прямой и направлены ли в разные стороны.
Ошибка: делать вывод о смежности только из суммы 180°. Числа показывают общую величину углов, но не указывают, где они расположены, поэтому такая проверка не доказывает наличие общей вершины и стороны. Сначала проверь геометрические условия определения, а затем используй сумму как свойство.
Ошибка: прибавлять известную меру к 180°, когда нужно найти смежный угол. Это происходит, если забыть, что оба угла вместе уже составляют 180°, а не дополняют эту величину сверху. Составь равенство x + α = 180° и найди x вычитанием: x = 180° − α.
Ошибка: путать 180° развёрнутого угла с числом углов или сторон. Число 180° обозначает градусную меру, то есть величину угла, а не количество каких-либо частей. Проверяй запись: знак градуса указывает на меру, а определение говорит о двух сторонах развёрнутого угла.
Для изучения смежных углов нужны понятия угла, его вершины и сторон, градусной меры, прямой и луча. Они помогают распознать нужное расположение и записать свойства численно. Позже правило о смежных углах пригодится при изучении вертикальных углов и задач о пересекающихся прямых. Оно также помогает составлять и решать уравнения, если меры углов заданы выражениями.
Какие углы называются смежными?
Это два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны — противоположные лучи. Такие углы лежат рядом и вместе образуют развёрнутый угол.
Почему сумма смежных углов равна 180°?
Их внутренние области вместе составляют развёрнутый угол. Градусная мера развёрнутого угла равна 180°, поэтому и сумма мер смежных углов равна 180°.
Как найти смежный угол, если известна градусная мера одного из них?
Вычти известную меру из 180°. Например, если один угол равен 68°, то другой равен 180° − 68° = 112°.
Достаточно ли суммы 180°, чтобы углы были смежными?
Нет. Кроме суммы, должны совпадать вершина и одна сторона, а две необщие стороны должны быть противоположными лучами. Сумма 180° сама по себе не говорит о расположении углов.
Могут ли оба смежных угла быть острыми?
Нет. Острый угол меньше 90°, поэтому сумма двух острых углов меньше 180°. А сумма смежных углов обязательно равна 180°.
14. Смежные углы
