§ 1. Смежные углы

Определения и обозначения

Угол образуют два луча с общей вершиной, то есть с общим началом. Лучи задают стороны угла, а их общая точка называется вершиной. Это определение нужно, чтобы точно описывать, какие стороны двух углов совпадают или связаны между собой.

Противоположные лучи имеют общее начало, лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Например, лучи OA и OB противоположны, если точки A, O и B лежат на одной прямой, а O находится между A и B. Такое расположение сторон является главным признаком смежных углов.

Смежные углы — это два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Поэтому они имеют одну общую часть, но вместе располагаются по разные стороны от общей стороны. По этому признаку смежные углы отличают от просто соседних или имеющих общую сторону углов.

Развернутый угол — это угол, стороны которого являются противоположными лучами. Его градусная мера равна 180°. Понятие развернутого угла помогает понять, почему сумма смежных углов связана именно с числом 180°.

Как это устроено

Представим прямую AB и точку O на ней, а из O проведем луч OC. Лучи OA и OB противоположны, а OC становится общей стороной углов AOC и COB. Значит, эти два угла имеют общую вершину и общую сторону, а их остальные стороны образуют прямую, поэтому они являются смежными.

Смежные углы вместе заполняют всю область по одну сторону от прямой AB, то есть составляют развернутый угол. Развернутый угол имеет меру 180°, и части одного целого в сумме дают его меру. Поэтому для смежных углов α и β выполняется равенство α + β = 180°.

Из равенства α + β = 180° можно выразить один угол через другой. Если известен угол α, переносим его в правую часть и получаем β = 180° − α. Значит, для нахождения смежного угла достаточно вычесть известную меру из 180°.

Обратное утверждение требует осторожности: сумма двух углов, равная 180°, сама по себе говорит только о числах. Например, два угла по 90° могут иметь разные вершины и не иметь общей стороны. Поэтому они будут дополнительными по мере, но не обязательно смежными по расположению.

В задаче сначала проверяют геометрическое условие: общую вершину, общую сторону и противоположные другие стороны. Затем записывают сумму 180° или составляют уравнение, находят неизвестную величину и проверяют результат. Проверка состоит в том, чтобы сложить найденный угол с известным и убедиться, что получено 180°, а мера каждого угла положительна.

Смежные углы и их свойства

Таблица помогает отделить определение от правила вычисления. Сначала проверьте, как расположены углы, и только потом применяйте равенство суммы 180°. Если хотя бы один геометрический признак отсутствует, нельзя автоматически считать углы смежными.

Например, если известна мера одного угла, используйте последнюю строку таблицы. Если даны отношения углов, сначала выразите их через одну переменную, а затем примените сумму 180°. После вычислений полезно вернуться к признакам и проверить, что речь действительно шла о смежных углах.

Разбор задач

Задача 1. Один из смежных углов равен 38°. Найдите второй.

Углы смежные, значит, их сумма равна 180°. Известная мера уже равна 38°, поэтому неизвестный угол получим вычитанием. Нужно также проверить, что найденная мера вместе с 38° действительно дает 180°.

1. Обозначим неизвестный угол через x.
2. Составим равенство: x + 38° = 180°.
3. Найдём x: x = 180° − 38° = 142°.

Ответ: второй угол равен 142°. Проверка: 38° + 142° = 180°, значит вычисление выполнено верно.

Задача 2. Два смежных угла относятся как 2:7. Найдите их градусные меры.

Отношение 2:7 означает, что первый угол состоит из 2 равных частей, а второй — из 7 таких частей. Обозначим величину одной части через x, тогда углы будут 2x и 7x. Их сумма равна 180°, потому что углы смежные.

1. Запишем меры углов: 2x и 7x.
2. Составим уравнение: 2x + 7x = 180°.
3. Получим 9x = 180°, откуда x = 20°.
4. Найдём углы: 2x = 40°, а 7x = 140°.

Ответ: углы равны 40° и 140°. Проверка по условию: 40° : 140° = 2 : 7, а сумма равна 180°.

Задача 3. Два угла имеют сумму 180°. Можно ли утверждать, что они смежные?

Одной суммы недостаточно, поскольку смежность определяется не только мерами, но и расположением углов. Для смежности нужны общая вершина, общая сторона и противоположные лучи в качестве двух остальных сторон. Поэтому надо привести пример, где сумма есть, а нужного расположения нет.

1. Возьмём два угла по 90°, но расположим их так, чтобы у них были разные вершины.
2. Их сумма равна 90° + 90° = 180°.
3. Общей вершины и общей стороны нет, значит, смежными они не являются.

Ответ: утверждать нельзя. Равенство суммы 180° является числовым свойством, а смежность требует ещё и определённого положения сторон.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Углы считают смежными только из-за общей стороны. Общая сторона без противоположных других лучей не является достаточным признаком. Проверьте все условия: общую вершину, общую сторону и прямую, образованную остальными сторонами.

Ошибка 2. Каждый смежный угол приравнивают к 180°. На самом деле 180° — это сумма двух углов, а не мера каждого из них. Составьте равенство α + β = 180° и не заменяйте им каждую отдельную величину.

Ошибка 3. Любые углы с суммой 180° называют смежными. Такое равенство не показывает, где находятся вершины и стороны углов. Для проверки мысленно или по схеме установите наличие общей стороны и противоположных лучей.

Ошибка 4. При вычитании из 180° получают неверный результат или отрицательное число. Выполняйте вычисление по шагам и сложите ответ с известным углом. Мера угла должна быть положительной и давать в сумме 180°.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать, что такое угол, луч и градусная мера угла. Также важно понимать определение противоположных лучей, потому что именно они задают расположение сторон смежных углов. Без этих понятий трудно отличить смежные углы от просто соседних.

Свойство смежных углов используется в задачах на нахождение неизвестных углов и при изучении вертикальных углов. Умение составлять уравнение по сумме 180° пригодится в задачах, где есть несколько углов и неизвестных величин.

Что запомнить

• Смежные углы имеют общую вершину и общую сторону.
• Две стороны смежных углов являются противоположными лучами.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Если один смежный угол равен α°, то другой равен 180° − α°.
• Одной только суммы 180° недостаточно, чтобы углы были смежными.