7 класс

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые можно совместить наложением так, чтобы совпали все их точки. Тогда совпадут и соответствующие стороны и углы, потому что одни и те же отрезки и лучи занимают одно положение. Это позволяет доказывать равенство многих элементов сразу.

Соответственные вершины и элементы — это вершины, стороны и углы, занимающие одинаковое положение в двух треугольниках. Если A соответствует A₁, B — B₁, C — C₁, то стороне AB соответствует A₁B₁, а углу A — углу A₁. Такое соответствие нужно установить до записи равенств, иначе можно сравнить не те элементы.

Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Обычно признак записывают так: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁, значит, △ABC = △A₁B₁C₁. После этого равными считаются все соответствующие стороны и углы.

Как это устроено

Две стороны сами по себе ещё не определяют форму треугольника: их можно расположить под разными углами. Если же известен угол между ними, одна сторона закрепляется относительно другой, и третья вершина оказывается в единственном положении с каждой стороны от первой стороны. Поэтому две стороны и заключённый между ними угол однозначно задают треугольник.

Сопоставлять вершины удобно по сторонам. Сначала найдите общую вершину двух данных сторон в первом треугольнике и поставьте ей в соответствие общую вершину равных сторон во втором. Затем сравните концы этих сторон: так устанавливается порядок записи вершин и не путаются соответствующие элементы.

Угол между заданными сторонами имеет вершину в их общей точке. Например, стороны AB и AC образуют угол A, потому что обе начинаются в точке A. Если вместо него взять другой угол, он может не определять взаимное положение именно этих сторон, и условие первого признака окажется невыполненным.

В доказательстве сначала выбирают два треугольника, которые нужно сравнить. Затем по условию и известным свойствам записывают три равенства: две пары сторон и углы между ними; после этого применяют первый признак и формулируют вывод о равенстве треугольников.

Равенство треугольников даёт больше, чем три исходных равенства. После совмещения совпадают все соответствующие элементы, поэтому можно заключить равенство третьих сторон и других углов. Но сначала нужно установить соответствие вершин, иначе вывод будет относиться к неправильным элементам.

Первый признак равенства треугольников: данные и вывод

Пользуйтесь таблицей сверху вниз: сначала проверьте две пары сторон, затем убедитесь, что сравниваемый угол расположен между ними. Только после выполнения всех трёх условий можно применить первый признак и получить равенство треугольников.

Разбор задач

Задача 1

Условие: в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁. Докажем равенство треугольников.

1. Стороне AB соответствует A₁B₁, а стороне AC — A₁C₁, поскольку эти отрезки равны по условию.
2. Угол A образован сторонами AB и AC. Угол A₁ образован сторонами A₁B₁ и A₁C₁, поэтому это углы между соответствующими сторонами.
3. Выполнены два равенства сторон и равенство углов между ними. По первому признаку △ABC = △A₁B₁C₁.

Ответ: треугольники равны; следовательно, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁.

Задача 2

Условие: точка O лежит на отрезке AB, AC = BC и ∠CAO = ∠CBO. Нужно проверить, следует ли отсюда равенство подходящих треугольников.

1. Естественно сравнить △CAO и △CBO: у них есть равные стороны AC и BC, а также равные углы CAO и CBO.
2. Но угол CAO расположен между AC и AO, а угол CBO — между BC и BO. Для первого признака нужна ещё равная пара AO = BO, которой в условии нет.
3. Точка O может быть выбрана в разных местах отрезка AB. Поэтому из данных условий нельзя доказать равенство этих треугольников или найти равенство AO и BO.

Ответ: задача в указанной формулировке не имеет требуемого вывода. Для применения первого признака нужно дополнительно знать AO = BO или другое условие, дающее третью необходимую пару элементов.

Задача 3

Условие: O — точка пересечения отрезков AC и BD, AO = CO и BO = DO. Докажем, что AB = CD.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AO = CO и BO = DO.
2. Углы AOB и COD — вертикальные, потому что образованы пересекающимися прямыми AC и BD. Вертикальные углы равны, значит, ∠AOB = ∠COD.
3. Эти углы находятся между сторонами AO, BO и CO, DO соответственно. По первому признаку △AOB = △COD.
4. Стороне AB соответствует CD. Поэтому из равенства треугольников следует AB = CD.

Ответ: AB = CD, поскольку △AOB = △COD по первому признаку равенства треугольников.

Типичные ошибки

Равны две стороны и угол не между ними. Такой набор иногда ошибочно принимают за условие первого признака, хотя он не фиксирует положение сторон. Проверьте, выходит ли угол из общей вершины именно этих двух сторон.

Неверно сопоставлены вершины. Если записать пары сторон в разном порядке, можно объявить соответствующими элементы, которые на самом деле не совпадают по положению. Сначала отметьте общую вершину двух данных сторон, а затем записывайте вершины в одном порядке.

Забыто равенство угла. Равенство двух сторон ещё не означает равенство треугольников, потому что угол между сторонами может различаться. Перед применением признака пересчитайте три условия: сторона, сторона, угол между ними.

Сделан вывод о произвольных элементах. После доказательства равенства нельзя автоматически сравнивать любые стороны и углы разных треугольников. Проверьте, какие вершины соответствуют друг другу, и только затем указывайте равные элементы.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое треугольник, сторона, вершина и угол, а также уметь обозначать треугольники буквами. Пригодятся навыки сравнения отрезков и углов и понимание вертикальных углов.

Первый признак используется как инструмент доказательства. С его помощью в следующих задачах находят равные стороны и углы, доказывают свойства фигур и сокращают число элементов, которые требуется сравнить.

Что запомнить

• Первый признак сравнивает две стороны и угол между ними.
• Равные элементы должны быть соответственными.
• Угол обязан находиться между рассматриваемыми сторонами.
• Если выполнено условие признака, треугольники равны.
• У равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы.