7 Класс

Определения и обозначения

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Если M — середина BC, то AM — медиана треугольника ABC, а BM = MC. Это определение помогает сразу понять, какую точку нужно найти на стороне, чтобы провести медиану.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла от вершины до противоположной стороны. Если AD — биссектриса угла A, то она делит этот угол на две равные части: ∠BAD = ∠DAC. Такое обозначение помогает отличить биссектрису от других отрезков, выходящих из вершины.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Например, высота из A перпендикулярна прямой BC или её продолжению. Определение важно тем, что высоту ищут по прямому углу, а не по середине стороны или равенству углов.

Основание медианы, биссектрисы или высоты — точка, в которой соответствующий отрезок встречает противоположную сторону или её продолжение. Так, у медианы AM основанием будет M, а у высоты из A основанием служит точка пересечения перпендикуляра с прямой BC. Это понятие помогает точно указать, где заканчивается отрезок.

Как это устроено

Медиана, биссектриса и высота начинаются в вершине и направляются к противоположной стороне, поэтому на чертеже они могут выглядеть похоже. Их различает условие, по которому выбирают конец отрезка: для медианы нужна середина стороны, для биссектрисы — деление угла пополам, для высоты — перпендикулярность. Именно это условие, а не внешний вид, определяет название отрезка.

Медиана попадает в середину противоположной стороны, поэтому эта сторона делится на два равных отрезка. Если точка M — основание медианы AM, на чертеже BM и MC отмечают одинаковыми короткими штрихами; в записи указывают BM = MC. Эти отметки показывают, что AM является медианой, а не просто произвольным отрезком из вершины.

Биссектриса делит угол при вершине на два равных угла, потому что таково свойство самой биссектрисы. Например, если AD проведена из вершины A, то ∠BAD и ∠DAC равны. На рисунке обе части угла отмечают одинаковыми дугами; если дуги различаются, равенство углов такими отметками не задано.

Высота перпендикулярна прямой, содержащей противоположную сторону, потому что именно перпендикуляр образует с прямой угол 90°. В остроугольном треугольнике основание высоты лежит на самой стороне. В тупоугольном треугольнике угол может не позволить провести перпендикуляр из вершины на отрезок стороны, поэтому высоту проводят к прямой, продолжая сторону за пределы треугольника.

Из каждой вершины можно провести одну медиану, одну биссектрису и одну высоту, поэтому у треугольника всего по три отрезка каждого вида. Например, из вершины A можно провести три разных отрезка, и каждый определяется своим условием. Не следует называть их все одним словом только потому, что они выходят из одной вершины.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Сначала определите, какое условие дано в задаче: равные части стороны, равные части угла или прямой угол. Затем найдите соответствующую строку таблицы и проверьте отметки на чертеже. У высоты основание может находиться на продолжении стороны.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. Назовите отрезок AM и укажите, какие отрезки равны. Нужно обратить внимание не на направление AM, а на то, чем задана точка M. Середина стороны — условие, по которому распознают медиану.

1. Так как M — середина BC, она делит эту сторону на равные отрезки.
2. Записываем равенство: BM = MC.
3. Отрезок AM соединяет вершину A с серединой противоположной стороны BC, значит, AM — медиана.

Ответ: AM — медиана треугольника ABC; BM = MC.

Задача 2

Отрезок AD делит угол A треугольника ABC пополам. Если ∠BAD = 32°, найдите ∠DAC и ∠A. Из условия следует, что AD — биссектриса, поэтому обе части угла A равны. Полный угол A складывается из этих двух частей.

1. Поскольку AD — биссектриса, ∠DAC = ∠BAD = 32°.
2. Угол A состоит из углов BAD и DAC.
3. Вычисляем: ∠A = 32° + 32° = 64°.

Ответ: ∠DAC = 32°, ∠A = 64°.

Задача 3

В тупоугольном треугольнике ABC проведите высоту из вершины B и определите, на какую прямую она опущена и где находится её основание. Высота из B должна идти перпендикулярно прямой, содержащей противоположную сторону AC. Поскольку треугольник тупоугольный, основание может попасть не на отрезок AC, а на его продолжение.

1. Продлите AC, если это нужно, чтобы получить прямую, содержащую сторону AC.
2. Из вершины B проведите перпендикуляр к этой прямой.
3. Обозначьте точку пересечения H. Отрезок BH — высота, а H — её основание; в зависимости от положения углов H может лежать на AC или на продолжении.

Ответ: высота из B опущена на прямую AC; её основание может находиться на продолжении AC, за пределами треугольника.

Типичные ошибки

Ошибка: называть медианой любой отрезок из вершины к противоположной стороне. Так думают, потому что медиана действительно соединяет вершину со стороной, но забывают главное условие — попадание в середину. Проверьте, равны ли две части стороны; если равенство не задано, медиану определить нельзя.

Ошибка: считать, что биссектриса делит противоположную сторону пополам. Такое смешение возникает из-за путаницы с медианой, которая делит именно сторону. Для проверки сравните части угла при вершине: у биссектрисы они равны, а равенство частей стороны из определения не следует.

Ошибка: проводить высоту к отрезку стороны, не проверяя прямой угол. Иногда перпендикулярная линия кажется очевидной на рисунке, но чертёж может быть неточным. Убедитесь, что высота образует угол 90° с прямой, содержащей противоположную сторону.

Ошибка: полагать, что высота всегда проходит внутри треугольника. Это представление возникает, если помнить только остроугольные треугольники. В тупоугольном треугольнике проверьте, не требуется ли продлить сторону: основание высоты может лежать за пределами треугольника.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в теме, нужно знать, что у треугольника есть вершины, стороны и углы, а у отрезка может быть середина. Также понадобятся перпендикулярные прямые: они пересекаются под прямым углом. Эти знакомые понятия позволяют распознать три специальных отрезка по их определениям.

Медианы, биссектрисы и высоты используют при изучении свойств треугольников и решении задач на построение и вычисление. Умение отличать их помогает понять, какие данные можно применить в задаче. Например, отметки равных частей угла указывают на биссектрису, а значок прямого угла — на высоту.

Что запомнить

• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса делит угол треугольника пополам.
• Высота перпендикулярна прямой, содержащей противоположную сторону.
• Из каждой вершины можно провести медиану, биссектрису и высоту.
• Высота тупоугольного треугольника может выходить за его пределы.