9 Класс

Определения и обозначения

Градус — единица измерения углов; его обозначают маленьким кружком: 1°. Полный оборот условно делят на 360 равных частей, и каждая такая часть называется одним градусом. Эта единица позволяет выражать величину угла числом, а не только сравнивать углы на глаз.

Градусная мера угла — числовое значение, показывающее, сколько градусов содержит угол. Например, запись ∠ABC = 40° означает, что величина угла ABC равна сорока градусам. Такая мера нужна, чтобы точно сравнивать углы, выполнять вычисления и строить угол заданной величины.

Транспортир — инструмент для измерения и построения углов. На его дуге нанесены деления и две шкалы, которые отсчитывают градусы в противоположных направлениях; в середине основания находится центр, а само основание служит базовой линией. Центр совмещают с вершиной угла, а базовую линию — с одной из его сторон, чтобы верно снять или отложить меру.

Развернутый угол — угол, стороны которого являются противоположными лучами, то есть лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Его градусная мера равна 180°. Это значение служит опорой для определения вида угла и решения задач о смежных углах.

Как это устроено

Угол показывает поворот одного луча относительно другого. Поэтому его можно рассматривать как часть полного оборота вокруг общей вершины: чем дальше повернулся луч, тем больше раскрытие угла. Полный оборот приняли равным 360° по исторической договорённости; такое число удобно делить на множество частей, например пополам или на четверти.

Чтобы представить один градус, полный оборот делят на 360 равных частей. Каждая часть соответствует повороту на 1°, а несколько таких частей дают меру большего угла: например, 35 частей составляют 35°. Так появляется числовая мера: мы считаем, сколько единичных градусов помещается между сторонами угла.

Чтобы измерить угол транспортиром, сначала совмести его центр с вершиной угла. Затем положи базовую линию на одну сторону так, чтобы деление 0° оказалось именно на этой стороне. Посмотри, где вторая сторона пересекает дугу, и прочитай значение по шкале, которая начинается с выбранного нуля: на транспортире две шкалы, поэтому неверный выбор даст другое число.

Длина сторон не определяет величину угла, потому что стороны — это лучи, а луч можно продолжить сколь угодно далеко. При продолжении их положение относительно друг друга не меняется, значит, не меняется и раскрытие. Именно это раскрытие показывает градусная мера, поэтому короткие и длинные стороны могут образовывать равные углы.

Если внутри угла провести луч из его вершины, он разделит угол на части без промежутка и наложения. Все единичные градусы, составляющие исходный угол, тогда распределятся между частями, поэтому их количества складываются. Например, если луч разделил угол на 38° и 57°, весь угол содержит 38 + 57 градусов.

Виды углов и их градусные меры

Сначала сравни меру угла с 90° и 180°, а затем определи его вид по таблице. Границы учитываются отдельно: например, угол ровно 90° — прямой, а не острый и не тупой.

Разбор задач

Задача 1. Измерить угол ABC с помощью транспортира и записать его градусную меру. Число зависит от того, как именно раскрыты стороны угла, поэтому без изображения или самого чертежа его нельзя определить заранее. Зато можно точно выполнить измерение по правилам.

1. Найди вершину угла — точку B — и совмести с ней центр транспортира.
2. Положи базовую линию транспортира вдоль одной стороны угла, например BA. Убедись, что на этой стороне находится отметка 0°.
3. Выбери шкалу, которая начинается с этого нуля, и посмотри, какое деление пересекает вторая сторона BC.
4. Запиши найденное число градусов: например, если BC пересекает отметку 64°, то ∠ABC = 64°. Для конкретного угла ABC его мера равна показанию транспортира на чертеже.

Ответ: ∠ABC равен числу градусов, считанному по подходящей шкале транспортира; без чертежа числовое значение не задано. Такой ответ не подменяет измерение догадкой: для получения конкретного числа нужен сам угол.

Задача 2. Луч BD делит угол ABC на два угла: ∠ABD = 38° и ∠DBC = 57°. Нужно найти градусную меру всего угла ABC. Луч BD проходит внутри угла, поэтому две части вместе составляют весь угол, а не только одну его сторону.

1. Запиши правило для угла, разделённого лучом: мера целого равна сумме мер частей.
2. Подставь известные значения: ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.
3. Сложи числа: 38° + 57° = 95°.

Ответ: ∠ABC = 95°. Он тупой, потому что больше 90°, но меньше 180°.

Задача 3. Один из смежных углов равен 67°. Найти второй угол и определить его вид. Смежные углы вместе образуют развернутый угол, поэтому сумма их мер равна 180°.

1. Обозначь неизвестную меру, например x.
2. Составь равенство: x + 67° = 180°.
3. Вычти известную меру из 180°: x = 180° − 67° = 113°.
4. Сравни 113° с границами видов углов: это больше 90° и меньше 180°.

Ответ: второй угол равен 113° и является тупым. Проверка: 67° + 113° = 180°, значит, сумма смежных углов получилась верной.

Типичные ошибки

Ошибка: читать число не по той шкале транспортира. Так происходит, когда смотрят только на отметку у второй стороны и забывают проверить, с какого нуля начинается отсчёт. Проверь, что выбранный 0° лежит на совмещённой стороне, и только потом считай деления.

Ошибка: поставить центр транспортира рядом с вершиной, а не точно на неё. Даже небольшой сдвиг меняет место пересечения стороны угла со шкалой и даёт неточное значение. Перед считыванием проверь, что точка-вершина находится в центре инструмента.

Ошибка: считать угол с длинными сторонами большим, чем угол с короткими. Такое впечатление возникает из-за того, что длинные линии занимают больше места на листе, но их длина не меняет раскрытия. Для проверки сравни положение сторон у вершины или измерь угол транспортиром.

Ошибка: складывать или вычитать меры, не проверив, как расположены углы. Сложение подходит, когда части составляют один целый угол, а вычитание — когда известен целый угол и нужно найти недостающую часть. Сначала отметь вершину, стороны и общий луч; затем проверь, образуют ли данные углы целое раскрытие или развернутый угол.

Связь с другими темами

Для измерения и сравнения углов нужно знать, что такое угол, его вершина и стороны, а также луч. Эти понятия помогают понять, какую именно часть раскрытия измеряет транспортир и как луч делит угол на части.

Градусная мера пригодится при изучении смежных и вертикальных углов, перпендикулярных прямых и треугольников. Например, знание меры развернутого угла позволяет находить смежный угол, а измерение помогает строить фигуры и решать задачи на сумму углов треугольника.

Что запомнить

• Полный угол содержит 360°.
• Развернутый угол равен 180°.
• Прямой угол равен 90°.
• Острый угол меньше 90°, тупой — больше 90°, но меньше 180°.
• Градусная мера угла не зависит от длины его сторон.
• Градусная мера составного угла равна сумме мер его частей.
• При измерении транспортиром его центр совмещают с вершиной угла.