99. Разложение вектора по координатным осям

Определения и обозначения

Координатные оси — две взаимно перпендикулярные оси с общим началом, относительно которых задают координаты векторов. Обычно горизонтальную ось называют осью x, а вертикальную — осью y. Они нужны, чтобы определять направления и положение векторов на плоскости.

Координатные векторы — единичные векторы, направленные вдоль положительных направлений осей; обозначим их i и j. Единичный вектор имеет длину 1. Векторы i и j служат образцами, с помощью которых можно выразить любое перемещение вдоль осей.

Координаты вектора — числа x и y, показывающие, сколько координатных векторов нужно взять вдоль каждой оси. Координата x относится к горизонтальному направлению, а y — к вертикальному. Координаты нужны, чтобы описывать вектор числами, а не только чертежом.

Разложение вектора по координатным осям — запись вектора a в виде a = x i + y j, где x и y — его координаты. Слагаемое x i задаёт горизонтальную составляющую, а y j — вертикальную. Такая запись показывает, из каких двух перемещений складывается исходный вектор.

Как это устроено

Перпендикулярные оси задают два независимых направления на плоскости. Если двигаться только вдоль одной оси, можно изменить положение лишь в одном направлении, например только вправо или влево. Чтобы достичь любой точки на плоскости, обычно нужно совместить горизонтальное и вертикальное перемещения.

Для описания перемещения вдоль оси выбирают единичный координатный вектор. Его длина равна одной единице, поэтому несколько таких векторов подряд задают нужное расстояние. Коэффициент перед координатным вектором сообщает и величину, и направление составляющей: например, 3i означает три единицы вправо, а −2j — две единицы вниз.

Вектор можно параллельно перенести так, чтобы его начало оказалось в начале координат. При таком переносе длина и направление вектора не меняются, поэтому не меняются и его координаты. Теперь конец перенесённого вектора показывает, на сколько единиц нужно пройти по каждой оси, чтобы получить составляющие.

Почему вектор равен сумме двух составляющих? Представим, что нужно попасть из начала вектора в его конец: сначала пройдём расстояние, заданное горизонтальной составляющей, а затем — вертикальной. После первого шага окажемся на одной линии с конечной точкой, после второго — в самой конечной точке. Значит, оба шага вместе дают ровно тот же результат, что и исходный вектор.

Координаты разложения единственны, если оси и координатные векторы уже выбраны. Для заданного вектора его конец имеет определённые горизонтальную и вертикальную координаты, поэтому количества i и j тоже определены. Другая пара коэффициентов дала бы другое перемещение хотя бы по одной оси и привела бы в другую точку.

Координатное разложение вектора

Сначала найдите в таблице обозначение, затем прочитайте, что именно оно показывает. При записи разложения соблюдайте порядок: сначала составляющая вдоль горизонтальной оси, затем вдоль вертикальной. Знак перед числом помогает сразу определить направление каждой составляющей.

Разбор задач

Задача 1

На координатной сетке дан вектор, направленный на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Нужно записать его разложение по координатным осям. Горизонтальное перемещение соответствует координате при i, вертикальное — координате при j. Оба направления совпадают с положительными направлениями осей.

1. По горизонтали вектор проходит 3 единицы вправо, поэтому первая координата равна 3.
2. По вертикали он проходит 2 единицы вверх, поэтому вторая координата равна 2.
3. Подставим координаты в запись a = x i + y j.

Ответ: a = 3i + 2j. Оба коэффициента положительные, потому что составляющие направлены вправо и вверх.

Задача 2

Вектор задан разложением a = −2i + 4j. Нужно описать его направление и построить его на координатной плоскости. Отрицательный коэффициент при i означает движение против положительного направления горизонтальной оси. Положительный коэффициент при j задаёт движение вверх.

1. От начала координат отложим по горизонтали 2 единицы влево: координата x равна −2.
2. От полученной точки поднимемся на 4 единицы вверх: координата y равна 4.
3. Соединим начало координат с полученной точкой стрелкой, направленной к ней.

Ответ: вектор направлен влево и вверх, а его конец имеет координаты (−2; 4). При построении важно отложить обе составляющие со знаками, а не брать только их длины.

Задача 3

Известны координаты начала и конца вектора: A(−1; 2), B(3; −2). Найдём разложение вектора AB. Вектор показывает переход из точки A в точку B, поэтому нужно сравнить координаты конечной точки с координатами начальной. Так мы определим, на сколько единиц изменилось положение по каждой оси.

1. Вычислим горизонтальное изменение: 3 − (−1) = 4.
2. Вычислим вертикальное изменение: −2 − 2 = −4.
3. Запишем найденные координаты в разложении: AB = 4i − 4j.

Ответ: AB = 4i − 4j, координаты вектора — (4; −4). Это означает, что от A к B нужно пройти 4 единицы вправо и 4 единицы вниз.

Типичные ошибки

Координаты вектора путают с координатами его конца, потому что обе записи состоят из пары чисел. Но координаты точки показывают её положение от начала координат, а координаты вектора — изменение положения. Чтобы проверить себя, если известны начало и конец, вычтите координаты начала из координат конца.

Координаты иногда меняют местами, поскольку на рисунке можно сначала замечать вертикальное перемещение. Однако первая координата всегда относится к горизонтальной оси, а вторая — к вертикальной. Проверяйте порядок по записи (x; y): координата x идёт первой.

Можно не заметить знак и направить обе составляющие вдоль положительных осей. Так происходит, если смотреть только на длину шагов и забывать, куда направлен вектор. Проверьте построение: отрицательная координата должна вести против положительного направления своей оси.

Ещё одна ошибка — считать координатами только длины составляющих, не учитывая их знаки. Длина не бывает отрицательной, но координата учитывает и величину, и направление перемещения. Сверьте знаки с чертежом: движение вправо и вверх даёт положительные координаты, влево и вниз — отрицательные.

Связь с другими темами

Для работы с разложением понадобятся координатная плоскость, положительные направления осей и единичный отрезок. Они помогают определить, что значит один шаг и в какую сторону его откладывать. Если эти понятия знакомы, составляющие вектора можно читать по сетке.

Разложение связано с нахождением координат вектора по координатам его начала и конца. Для этого вычисляют изменение координат по каждой оси: из координаты конца вычитают координату начала. Так переход от чертежа к числовой записи становится точным.

Координатное разложение помогает изучать сложение векторов и выполнять вычисления с ними. Вместо сравнения направленных отрезков можно отдельно работать с горизонтальными и вертикальными составляющими. Это упрощает построение результата и проверку вычислений.

Что запомнить

• Координатные оси задают направления, вдоль которых раскладывают вектор.
• Координатные векторы имеют длину 1 и направлены вдоль положительных осей.
• Координаты вектора записывают в установленном порядке: сначала вдоль горизонтальной оси, затем вдоль вертикальной.
• Вектор равен сумме своих составляющих по координатным осям.
• Знак координаты показывает направление составляющей относительно положительного направления оси.
• При фиксированных координатных осях разложение вектора единственно.