98. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов a и b — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла α между ними: a·b = |a|·|b|·cos α. Здесь |a| и |b| обозначают длины векторов, а точка между буквами — знак скалярного произведения. Эта запись нужна, чтобы отличать произведение векторов от сложения и умножения вектора на число.

Угол между векторами определяют, когда их откладывают от одного общего начала: берут угол между лучами, направленными вдоль этих векторов. По определению такой угол выбирают от 0° до 180°, то есть не рассматривают угол больше развёрнутого. Благодаря этому для каждой пары направленных векторов угол определён однозначно и можно выбрать соответствующее значение косинуса.

Ортогональные векторы — это векторы, образующие прямой угол; иначе говорят, что они перпендикулярны. Для ненулевых векторов это равносильно условию a·b = 0, потому что cos 90° = 0. Это понятие позволяет распознавать перпендикулярность не только по рисунку, но и с помощью вычислений.

Как это устроено

В формуле a·b = |a|·|b|·cos α участвуют две длины и число cos α, поэтому результатом становится обычное число. Длины показывают размеры векторов, а косинус учитывает, насколько направления совпадают или расходятся. Если изменить угол, сохранив длины, произведение изменится именно из-за косинуса; если увеличить длину одного вектора, произведение увеличится пропорционально ей.

Знак произведения помогает понять взаимное направление векторов. При остром угле косинус положителен, поэтому положительно и произведение; при прямом угле косинус равен нулю. При тупом угле косинус отрицателен, поэтому произведение тоже отрицательно: векторы направлены так, что угол между ними больше 90°.

Перестановочное свойство следует прямо из определения. При переходе от a·b к b·a длины только меняются местами в произведении, а угол между теми же векторами остаётся прежним. Поскольку умножение чисел переместительно, получаем a·b = b·a; порядок записи векторов на значение не влияет.

Скалярное произведение распределяется относительно сложения: (a+b)·c = a·c + b·c. Причина в том, что сумма a+b действует как один вектор, но её вклад в направлении c складывается из вкладов a и b. Если один вектор умножить на число k, то (ka)·b = k(a·b): длина и направление ka дают тот же результат, что и умножение исходного произведения на k.

Если взять один и тот же вектор дважды, угол между ним и самим собой равен 0°, а cos 0° = 1. Значит, a·a = |a|²·1 = |a|²: произведение вектора на себя даёт квадрат его длины. Для ненулевых векторов из определения также следует критерий перпендикулярности: произведение равно нулю, когда cos α = 0, то есть при α = 90°.

Основные свойства скалярного произведения

Сначала выбери в таблице свойство, которое соответствует известным данным и тому, что требуется найти. Для вычисления по углу пригодится определение, а для выражения с суммой — распределительное свойство. Признак перпендикулярности применяй только к ненулевым векторам.

Разбор задач

Задача 1. Длины векторов равны 4 и 5, угол между ними равен 60°. Найдём их скалярное произведение.

1. Запишем определение: a·b = |a|·|b|·cos α.
2. Подставим длины и угол: a·b = 4·5·cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, вычислим 4·5·½ = 10.

Ответ: скалярное произведение равно 10. Оно положительно, что согласуется с острым углом между векторами.

Задача 2. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно 0. Определим угол между ними.

1. По определению 0 = |a|·|b|·cos α.
2. Оба вектора ненулевые, поэтому их длины положительны. Чтобы произведение стало нулём, необходимо cos α = 0.
3. В промежутке от 0° до 180° косинус равен нулю при α = 90°.

Ответ: векторы образуют прямой угол и перпендикулярны. Условие о ненулевых векторах важно: иначе нулевое произведение само по себе не определяло бы угол между направлениями.

Задача 3. Дано: a·a = 9, b·b = 16, a·b = 6. Найдём (a+b)·(a+b) и длину a+b.

1. Раскроем первое выражение по распределительному свойству: (a+b)·(a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b.
2. По переместительному свойству b·a = a·b, значит, выражение равно 9 + 6 + 6 + 16 = 37.
3. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины. Поэтому |a+b|² = 37, а длина положительна: |a+b| = √37.

Ответ: (a+b)·(a+b) = 37, длина вектора a+b равна √37.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать скалярное произведение вектором. Так бывает, потому что исходные объекты являются векторами, но по определению результат — число; в отличие от суммы векторов, у него нет направления. Проверяй, что после вычисления записано числовое значение, а не новый вектор.

Вторая ошибка — подставлять синус угла вместо косинуса. Эти функции легко перепутать, но при прямом угле произведение обязано быть нулевым: cos 90° = 0. Если подстановка синуса даёт ненулевое значение для перпендикулярных векторов, значит, выбрана не та функция.

Третья ошибка — считать, что произведение всегда положительно. При остром угле косинус положителен, а при тупом он отрицателен, поэтому знак меняется вместе с углом. Перед вычислением оцени угол: если он больше 90°, отрицательный ответ ожидаем и не является ошибкой сам по себе.

Четвёртая ошибка — делать вывод о перпендикулярности по нулевому произведению, не проверив, что векторы ненулевые. Нулевой вектор имеет нулевое скалярное произведение с любым вектором, а его направление не задаётся. Убедись, что длины обоих векторов положительны, и только затем используй признак перпендикулярности.

Связь с другими темами

Для изучения скалярного произведения нужны длина вектора, сложение векторов и умножение вектора на число. Также следует знать, как задают угол и чему равен косинус основных углов, например 60° и 90°. Эти знания позволяют подставлять данные в определение и пользоваться свойствами произведения.

Дальше скалярное произведение помогает проверять перпендикулярность без измерения угла на чертеже. С его помощью также находят углы и длины в задачах о векторах: для этого применяют определение, равенство a·a = |a|² и распределительное свойство.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• Оно равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.
• При перестановке векторов скалярное произведение не меняется.
• Скалярное произведение суммы раскрывается по распределительному свойству.
• Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины.
• Нулевое скалярное произведение ненулевых векторов означает, что они перпендикулярны.
• Знак произведения определяется углом: для острого он положительный, для прямого нулевой, для тупого отрицательный.