"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Скалярное произведение — это число, которое получают из двух векторов, их длин и угла между ними. Оно помогает понять, как направлены векторы относительно друг друга: перпендикулярны ли они, образуют острый или тупой угол. Произведение вычисляют по формуле с косинусом угла или по координатам. Отдельный случай — скалярный квадрат, равный квадрату длины вектора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скалярное произведение двух векторов a и b — это число, равное произведению их длин на косинус угла φ между ними: a · b = |a| · |b| · cos φ. Точка обозначает именно умножение векторов с получением числа. Эта формула связывает длины и взаимное направление векторов.
Углом между векторами называют угол от 0° до 180°, который получают, если отложить оба вектора от общего начала. Если векторы не имеют общего начала, один из них мысленно переносят параллельно самому себе. Такой угол нужен, чтобы однозначно применить формулу скалярного произведения.
Скалярный квадрат вектора a — это его произведение на самого себя: a · a. Он равен квадрату длины вектора: a · a = |a|². Это обозначение удобно, когда длину нужно найти через координаты или произведение.
Если a = (x₁; y₁), а b = (x₂; y₂), то координатная формула имеет вид a · b = x₁x₂ + y₁y₂. Нужно перемножить координаты, стоящие на одинаковых местах, и сложить два результата. Формула позволяет работать без предварительного построения угла.
Определение показывает, что результат зависит сразу от трёх величин: длины первого вектора, длины второго и их направления. Косинус превращает информацию об угле в число: для острого угла он положителен, для прямого равен нулю, для тупого отрицателен. Поэтому знак произведения показывает характер угла между векторами.
Координатную формулу можно получить, разложив векторы по двум взаимно перпендикулярным осям. Для a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) вклад горизонтальных частей равен x₁x₂, а вертикальных — y₁y₂. Смешанные части не дают вклада, потому что направления осей перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю.
При умножении вектора на себя угол между двумя его копиями равен 0°, поэтому cos 0° = 1. Из определения получается a · a = |a| · |a| · 1 = |a|². Квадрат длины не может быть отрицательным, а у ненулевого вектора он больше нуля.
Для ненулевых векторов перпендикулярность означает угол 90°. Поскольку cos 90° = 0, их скалярное произведение равно нулю. Обратно, если произведение равно нулю, длины векторов не равны нулю, значит нулевым должен быть косинус, а угол — прямым.
Если координаты векторов известны, сначала вычисляют x₁x₂ + y₁y₂, а затем длины по формулам |a| = √(x₁² + y₁²) и |b| = √(x₂² + y₂²). Подстановка в определение даёт cos φ = (a · b) / (|a| · |b|). После этого угол находят по известному значению косинуса.
Таблица собрала главные записи и выводы, которые используются при решении задач. Сначала определите, какие данные известны: угол и длины или координаты. Затем выберите соответствующую строку и проверьте, можно ли получить нужный вывод.
| Случай | Запись | Что можно заключить |
|---|---|---|
| Произведение двух векторов через угол | a · b = |a| · |b| · cos φ | Можно вычислить произведение по длинам и углу. |
| Произведение по координатам | a · b = x₁x₂ + y₁y₂ | Координатный способ не требует построения угла. |
| Скалярный квадрат вектора | a · a = |a|² | По произведению можно найти длину: |a| = √(a · a). |
| Перпендикулярные ненулевые векторы | a · b = 0 | Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение равно нулю. |
| Нахождение косинуса угла | cos φ = (a · b) / (|a| · |b|) | Можно найти угол между ненулевыми векторами. |
Задача 1. Найдите скалярное произведение векторов a = (2; 3) и b = (4; −1). Координаты уже известны, поэтому удобнее использовать формулу по координатам. Перемножаем координаты, стоящие на одинаковых местах.
Ответ: a · b = 5. Положительный результат согласуется с тем, что угол между векторами острый.
Задача 2. Найдите длину вектора a = (−3; 4), используя скалярное произведение. Сначала найдём скалярный квадрат, а затем извлечём из него квадратный корень, потому что длина не может быть отрицательной.
Ответ: длина вектора равна 5.
Задача 3. Проверьте, перпендикулярны ли a = (2; −1) и b = (1; 2), затем найдите косинус угла между c = (1; 2) и d = (3; 1). В первой части достаточно вычислить произведение, а во второй нужны ещё длины векторов.
Ответ: a ⟂ b; для векторов c и d косинус угла равен √2 / 2.
Скалярное произведение путают с векторным и ожидают получить стрелку-вектор. Причина — привычка считать, что умножение объектов с направлением должно давать новый направленный объект. Проверьте себя: результат скалярного произведения записывается обычным числом.
В координатной формуле иногда перемножают координаты крест-накрест или забывают сложить произведения. Ошибка возникает из-за невнимательного сопоставления координат по осям. Запишите пары отдельно: x₁ с x₂, y₁ с y₂, затем поставьте между результатами знак «+».
Нельзя утверждать, что любые векторы с нулевым произведением перпендикулярны. Нулевой вектор не имеет определённого направления, поэтому угол с ним не задаётся. Перед применением признака убедитесь, что оба вектора ненулевые.
Скалярный квадрат иногда принимают за длину вектора. На самом деле a · a = |a|², поэтому для длины нужно извлечь квадратный корень. Самопроверка проста: у вектора (3; 4) скалярный квадрат равен 25, а длина — 5.
Для скалярного произведения нужны координаты вектора, формула его длины и понятие угла между векторами. Координаты дают вычислительный способ, длина входит в формулу произведения, а угол объясняет его знак и величину.
Скалярное произведение помогает находить углы и проверять перпендикулярность. Оно также используется в координатных задачах, где геометрические свойства фигур удобно заменять вычислениями с числами.
Почему скалярное произведение называется скалярным?
При умножении двух векторов результатом является не новый вектор, а обычное число. Такие величины называют скалярами, поэтому произведение и называется скалярным.
Может ли скалярное произведение быть отрицательным?
Да, если угол между ненулевыми векторами тупой: тогда косинус угла отрицателен. При остром угле произведение положительно, а при прямом угле оно равно нулю.
Почему скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины?
При умножении вектора на себя угол между двумя одинаковыми векторами равен 0°, а cos 0° = 1. Поэтому a · a = |a| · |a| = |a|².
Как по координатам проверить, перпендикулярны ли два вектора?
Перемножьте соответствующие координаты и сложите результаты. Если скалярное произведение равно нулю, то два ненулевых вектора перпендикулярны.
Как найти угол между векторами, если известны их координаты?
Сначала найдите скалярное произведение по координатам и длины обоих векторов. Затем вычислите cos φ = (a · b) / (|a| · |b|), после чего по этому значению можно определить угол φ.
102. Скалярное произведение векторов
