"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Скалярное произведение двух векторов — это число, которое показывает, как векторы направлены друг относительно друга. Его находят по длинам векторов и косинусу угла между ними, а на координатной плоскости — как сумму произведений соответствующих координат. По скалярному произведению можно проверить перпендикулярность векторов и вычислить косинус угла между ними.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скалярное произведение векторов — число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: a · b = |a||b|cos α. Здесь a · b — скалярное произведение, |a| и |b| — длины векторов, α — угол между ними. Оно помогает сравнить направления векторов.
Координаты вектора — числа, задающие его проекции на координатные оси. Вектор записывают парой a = (x; y), где x — координата по горизонтальной оси, а y — по вертикальной. Такая запись позволяет выполнять действия с векторами с помощью чисел.
Скалярное произведение векторов в координатах — сумма произведений соответствующих координат. Для a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) формула имеет вид: a · b = x₁x₂ + y₁y₂. Она позволяет находить произведение без построения векторов и измерения угла.
Перпендикулярные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°. Так как cos 90° = 0, скалярное произведение таких векторов равно нулю. Для ненулевых векторов верно и обратное: если a · b = 0, то они перпендикулярны.
По определению a · b = |a||b|cos α. Косинус показывает, насколько направления векторов совпадают: при остром угле он положителен, при прямом равен нулю, а при тупом отрицателен. Поэтому знак скалярного произведения сообщает, какой угол образуют векторы.
Разложим каждый вектор по двум взаимно перпендикулярным осям. При перемножении частей, направленных вдоль одной оси, получаются произведения одноимённых координат. Части вдоль разных осей не дают вклада в итоговое произведение, потому что угол между осями равен 90°, а cos 90° = 0.
У векторов a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) вклад горизонтальных составляющих равен x₁x₂, а вклад вертикальных — y₁y₂. Складывая эти два вклада, получаем формулу a · b = x₁x₂ + y₁y₂. Поэтому координатный способ является короткой записью геометрического определения.
Для перпендикулярных ненулевых векторов угол α равен 90°, значит, a · b = 0. Подставив координатную формулу, получаем условие x₁x₂ + y₁y₂ = 0. Чтобы проверить перпендикулярность, достаточно вычислить эту сумму и убедиться, что она равна нулю.
Длину вектора выражают через его координаты: |a| = √(x₁² + y₁²), |b| = √(x₂² + y₂²). Из определения скалярного произведения следует cos α = (a · b)/(|a||b|). Значит, для нахождения угла по координатам сначала вычисляют сумму произведений координат и обе длины, а затем делят первое число на произведение длин.
| Что рассматривается | Формула или условие | Что позволяет найти |
|---|---|---|
| Определение через длины и угол | a · b = |a||b|cos α | Скалярное произведение по длинам и углу |
| Векторы с координатами (x₁; y₁) и (x₂; y₂) | a · b = x₁x₂ + y₁y₂ | Скалярное произведение по координатам |
| Длина вектора через координаты | |a| = √(x₁² + y₁²) | Длину вектора |
| Условие перпендикулярности ненулевых векторов | a · b = 0, или x₁x₂ + y₁y₂ = 0 | Перпендикулярность векторов |
| Косинус угла между ненулевыми векторами | cos α = (a · b)/(|a||b|) | Косинус угла между векторами |
Сначала определите, что требуется найти: произведение, длину, перпендикулярность или косинус угла. Затем выберите строку таблицы с подходящей формулой. Если даны координаты, удобно начать с вычисления произведений одноимённых координат.
В формулах a и b обозначают векторы, а |a| и |b| — их длины. При делении на длины убедитесь, что векторы ненулевые: длина нулевого вектора равна нулю, поэтому делить на неё нельзя.
Условие: найдите скалярное произведение векторов a = (2; −3) и b = (4; 1). Даны координаты обоих векторов, поэтому угол и длины находить не требуется. Используем формулу суммы произведений соответствующих координат.
Ответ: a · b = 5. Положительный результат согласуется с тем, что угол между векторами острый.
Условие: определите, перпендикулярны ли векторы a = (3; 2) и b = (2; −3). Для ненулевых векторов достаточно проверить, равно ли их скалярное произведение нулю. Найдём его по координатной формуле.
Ответ: векторы перпендикулярны. Здесь отрицательное произведение вторых координат как раз сокращает положительное произведение первых.
Условие: найдите косинус угла между a = (1; 2) и b = (2; −1). Сначала вычислим скалярное произведение, затем длины векторов. После этого подставим значения в формулу косинуса.
Ответ: cos α = 0, угол между векторами равен 90°. В этой задаче одновременно использованы формулы произведения, длины и перпендикулярности.
Перемножают координаты крест-накрест. Ошибка состоит в записи x₁y₂ + y₁x₂ вместо x₁x₂ + y₁y₂: координаты должны быть одноимёнными. Проверьте себя, подписав отдельно горизонтальные и вертикальные составляющие.
Считают скалярное произведение вектором. После вычисления получается одно число, а не пара координат. Если в ответе записана пара вроде (m; n), значит, перепутаны скалярное и векторное действия.
Забывают знаки координат. При умножении отрицательной координаты на положительную результат отрицателен, а два минуса дают плюс. Перепишите каждую координату в скобках перед умножением и проверьте знак каждого слагаемого.
Не делят произведение на произведение длин. Число a · b само по себе не является косинусом угла. Для проверки запишите cos α = (a · b)/(|a||b|) и только потом подставляйте найденные значения.
До этой темы нужны координаты вектора и формула его длины через координаты: |a| = √(x² + y²). Они позволяют перейти от геометрического изображения к вычислениям.
Также нужно знать определение угла между векторами и значения косинуса для углов от 0° до 180°. По знаку косинуса можно понять, острый, прямой или тупой угол образуют векторы.
Координатная формула полезна при проверке перпендикулярности и решении задач на углы. Она связывает действия с координатами, длины и свойства взаимного положения векторов.
Почему скалярное произведение называется скалярным?
Скаляр — это величина, которая выражается одним числом. При скалярном умножении двух векторов получается не новый вектор, а число.
Может ли скалярное произведение быть отрицательным?
Да, если угол между ненулевыми векторами тупой, его косинус отрицателен. Поэтому и скалярное произведение будет отрицательным.
Как по координатам понять, что векторы перпендикулярны?
Перемножьте соответствующие координаты и сложите результаты. Если x₁x₂ + y₁y₂ = 0, то ненулевые векторы перпендикулярны.
Можно ли найти угол между векторами только по их координатам?
Да. Сначала найдите скалярное произведение и длины обоих векторов, а затем используйте формулу cos α = (a · b)/(|a||b|).
Что получится, если скалярно умножить вектор на самого себя?
Получится квадрат длины этого вектора: a · a = |a|². В координатах для a = (x; y) это x² + y².
103. Скалярное произведение в координатах
