104. Свойства скалярного произведения векторов

Определения и обозначения

Скалярным произведением векторов a и b называют число a·b = |a||b| cos α. Здесь |a| и |b| — длины векторов, а α — угол между ними. Чтобы найти произведение, нужно перемножить длины и умножить результат на косинус угла. Такое число помогает связать длины векторов с их взаимным направлением.

Углом между двумя ненулевыми векторами называют угол от 0° до 180°, который получается, если совместить их начала. Для противоположно направленных векторов он равен 180°, а для направленных одинаково — 0°. В формуле скалярного произведения учитывают именно этот угол, а не любой из углов, образованных прямыми, на которых лежат векторы. Косинус угла показывает, как направление влияет на значение произведения.

Два ненулевых вектора называют перпендикулярными, если угол между ними прямой. По определению cos 90° = 0, поэтому их скалярное произведение равно нулю. И наоборот, если произведение двух ненулевых векторов равно нулю, косинус угла между ними тоже равен нулю, значит, угол прямой. Это условие удобно применять, когда угол напрямую найти трудно.

Квадратом вектора называют его скалярное произведение на себя: a² в таком смысле означает a·a. По определению a·a = |a||a| cos 0° = |a|², поскольку угол вектора с самим собой равен нулю. Значит, квадрат вектора неотрицателен и совпадает с обычным квадратом его длины. Эта запись позволяет находить длину, если известно скалярное произведение вектора на себя.

Как это устроено

При перестановке векторов их длины просто меняются местами в произведении, а косинус угла остаётся тем же: угол между a и b равен углу между b и a. Поэтому |a||b| cos α = |b||a| cos α, то есть a·b = b·a. Это свойство называют переместительным. Благодаря ему можно выбирать порядок записи, удобный для вычислений.

Если вектор умножить сам на себя, длины в формуле становятся одинаковыми, а угол между вектором и им же равен 0°. Косинус нуля равен 1, поэтому a·a = |a||a| · 1 = |a|². Геометрический смысл прост: направление здесь не уменьшает и не меняет длину, а множитель косинуса оказывается единицей. Поэтому скалярный квадрат вектора всегда неотрицателен.

У ненулевых векторов длины положительны, так что знак скалярного произведения определяется знаком cos α. При остром угле косинус положителен, при прямом равен нулю, а при тупом отрицателен. Значит, произведение сообщает не только числовую величину, но и то, насколько направления векторов согласованы. Для противоположно направленных векторов угол 180°, и произведение отрицательно.

Рассмотрим сумму b + c и её угол с вектором a. По определению произведение a·(b + c) равно длине a, умноженной на длину суммы и косинус соответствующего угла. Геометрически это можно выразить через проекции слагаемых на направление a: вклад суммы равен сумме вкладов b и c. Поэтому a·(b + c) = a·b + a·c; каждый член суммы учитывается отдельно. Свойство позволяет вычислять произведение, даже если длина и направление суммы неизвестны.

Если первый вектор умножить на число k, его длина изменится в |k| раз, а при отрицательном k направление развернётся на 180°. В формуле это изменение даёт общий множитель k, поэтому (ka)·b = k(a·b). Такой же множитель можно вынести из второго вектора, а при умножении обоих векторов на числа множители перемножаются. При положительном k значение масштабируется в k раз, а при отрицательном меняет знак и масштабируется в |k| раз.

Основные свойства скалярного произведения

Сначала выберите в таблице свойство, которое соответствует выражению в задаче: например, наличие суммы или числового множителя. Затем преобразуйте запись и подставьте известные значения. Условие о перпендикулярности применяйте только к ненулевым векторам.

Разбор задач

Задача 1. Длины векторов a и b равны 4 и 3, а угол между ними — 60°. Найдите a·b. Здесь уже известны все части определения, поэтому достаточно подставить их в формулу. Значение cos 60° равно ½.

1. Записываем определение: a·b = |a||b| cos α.
2. Подставляем данные: a·b = 4 · 3 · cos 60°.
3. Вычисляем: 4 · 3 · ½ = 6.

Ответ: 6. Положительный результат согласуется с тем, что угол 60° острый.

Задача 2. Известно, что a·b = 7 и a·c = −2. Найдите a·(b + c). Вычислять сам вектор b + c не требуется: произведение записано с суммой, значит, подходит распределительное свойство. После раскрытия скобок останется подставить два известных числа.

1. Применяем свойство: a·(b + c) = a·b + a·c.
2. Подставляем данные: a·(b + c) = 7 + (−2).
3. Вычитаем: 7 − 2 = 5.

Ответ: 5. Распределение заменило одно произведение суммы двумя известными произведениями.

Задача 3. Даны ненулевые векторы a и b, причём a·a = 5, a·b = 0 и b·b = 2. Найдите x, если векторы u = a + xb и v = a − b перпендикулярны. Условие перпендикулярности превращает задачу в равенство u·v = 0. Раскроем это произведение по сумме и вынесем числовой множитель.

1. Записываем условие: (a + xb)·(a − b) = 0.
2. Раскрываем скобки: a·a − a·b + x(b·a) − x(b·b) = 0.
3. Используем a·b = b·a и подставляем данные: 5 − 0 + 0 − 2x = 0.
4. Решаем уравнение: 2x = 5, значит, x = 5/2.

Ответ: x = 5/2. При таком значении скалярное произведение u·v обращается в нуль, как и требуется для перпендикулярных векторов.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать скалярное произведение всегда положительным. Её допускают, забывая, что косинус тупого угла отрицателен; например, при угле 120° произведение отрицательно. Проверяйте знак по углу: острый даёт плюс, прямой — ноль, тупой — минус.

Вторая ошибка — принимать результат за вектор или путать скалярное произведение с векторным. В названии может сбивать слово «векторов», но по определению результат здесь — число. Проверка простая: в формуле |a||b| cos α перемножаются числовые величины, значит, итог тоже числовой.

Третья ошибка — раскрывать произведение суммы только частично или забывать один из членов. Если записано a·(b + c), нужно умножить a отдельно на b и на c: a·b + a·c. При проверке сравните число получившихся слагаемых с числом слагаемых в скобках.

Четвёртая ошибка — объявлять векторы перпендикулярными только потому, что их произведение равно нулю, не проверив, что они ненулевые. У нулевого вектора направление не задано, поэтому угол с ним не определён и рассуждение через угол не работает. Перед выводом проверьте условие задачи: оба вектора должны быть ненулевыми.

Связь с другими темами

Для вычисления скалярного произведения нужны длина вектора, сложение векторов, умножение вектора на число и знание косинуса угла. Поэтому сначала полезно уверенно выполнять эти действия и находить значения косинуса знакомых углов. Скалярное произведение, в свою очередь, помогает определять углы между векторами и проверять их перпендикулярность. В задачах с координатами оно позволяет сводить такие геометрические вопросы к вычислениям с числами.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• a·b = b·a.
• a·a = |a|².
• a·(b + c) = a·b + a·c.
• (ka)·b = k(a·b).
• Для ненулевых векторов a·b = 0 тогда и только тогда, когда они перпендикулярны.