23.2. Свойства скалярного произведения векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов a и b — число, равное произведению их длин на косинус угла α между ними: a·b = |a||b| cos α. Точка между буквами обозначает именно скалярное произведение, а |a| и |b| — длины векторов. Если один из векторов нулевой, произведение считают равным нулю.

Угол между векторами — угол от 0° до 180° между сонаправленными с ними лучами, проведёнными из общей точки. Поэтому учитывается не положение исходных отрезков, а только направления векторов. Такой угол нужен, чтобы однозначно вычислять косинус в формуле произведения.

Ортогональные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°. Для них cos 90° = 0, поэтому скалярное произведение равно нулю. Термин ортогональные означает перпендикулярные и часто используется как более короткое обозначение.

Скалярный квадрат вектора a — это произведение вектора на самого себя: a·a. По формуле он равен |a|², потому что угол между вектором и им самим равен 0°, а cos 0° = 1. Это позволяет заменять квадрат длины скалярным произведением.

Как это устроено

Переместительное свойство имеет вид a·b = b·a. Причина в том, что при перестановке векторов не меняются их длины и угол между ними, а значит, не меняется произведение |a||b| cos α. В отличие от некоторых операций с векторами здесь порядок множителей роли не играет.

Распределительное свойство относительно сложения записывают так: (a + b)·c = a·c + b·c. Сумма a + b сначала складывает направления и длины по правилам векторов, а скалярное произведение с фиксированным c изменяется линейно. Поэтому общий результат можно получить отдельно для каждого слагаемого и затем сложить числа.

Числовой множитель выносится за знак произведения: (ka)·b = k(a·b). При положительном k длина a меняется в |k| раз, а при отрицательном дополнительно меняется направление; это полностью согласуется с изменением косинуса угла. Аналогично a·(kb) = k(a·b), поэтому множитель можно вынести из любого сомножителя.

Скалярный квадрат равен квадрату длины: a·a = |a|². Квадрат длины не бывает отрицательным и обращается в ноль только тогда, когда длина равна нулю, то есть вектор нулевой. Так скалярное произведение вектора на себя даёт способ проверять длину и факт ненулевого вектора.

Для ненулевых векторов a·b = 0 тогда и только тогда, когда они перпендикулярны. Действительно, длины таких векторов положительны, поэтому нулевым в произведении может быть только cos α, а это происходит при α = 90°. Нулевой вектор является исключением: его произведение с любым вектором равно нулю, но говорить о перпендикулярности его направления нельзя.

Основные свойства скалярного произведения

В таблице запись показывает правило, а последний столбец — практический результат его применения. При преобразовании выражения сначала удобно вынести числа, затем раскрыть сумму и объединить одинаковые произведения. Для проверки перпендикулярности достаточно получить ноль, но нужно убедиться, что оба вектора ненулевые.

Разбор задач

Задача 1

Найти a·b, если |a| = 5, |b| = 4, а угол между векторами равен 60°. Здесь известны все величины из определения, поэтому дополнительные свойства не нужны.

1. Записываем формулу: a·b = |a||b| cos α.
2. Подставляем данные: a·b = 5 · 4 · cos 60° = 20 · ½.
3. Выполняем умножение и учитываем, что угол острый, поэтому результат должен быть положительным.

Ответ: a·b = 10.

Задача 2

Пусть a·a = 9, b·b = 16, a·b = 2. Найти длину вектора a + b. Искомая длина связана со скалярным квадратом суммы.

1. Раскрываем произведение по распределительному свойству: (a + b)·(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b.
2. По переместительному свойству b·a = a·b, поэтому получаем |a + b|² = 9 + 2 + 2 + 16 = 29.
3. Извлекаем квадратный корень: |a + b| = √29, выбирая неотрицательное значение длины.

Ответ: |a + b| = √29.

Задача 3

Известно, что (a + b)·c = 0, a·c = 3 и b·c = −3. Доказать, что c перпендикулярен a + b, если c и a + b ненулевые. Нужно сопоставить данные с критерием перпендикулярности.

1. По распределительному свойству (a + b)·c = a·c + b·c.
2. Подставляем значения: (a + b)·c = 3 + (−3) = 0.
3. Оба вектора ненулевые по условию, поэтому применяем критерий и заключаем, что они перпендикулярны.

Ответ: c ⟂ (a + b).

Типичные ошибки

Скалярное произведение иногда путают с векторным: первое даёт число, а второе — вектор. Ошибка возникает из-за похожего обозначения и слова произведение. Проверьте результат: если получился вектор или набор координат без числового значения, применено не то действие.

Нельзя забывать косинус угла или подставлять вместо него смежный угол. При тупом угле косинус отрицателен, значит, скалярное произведение ненулевых векторов тоже отрицательно. Самопроверка проста: сравните знак ответа с видом угла.

Равенство a·b = 0 не означает перпендикулярность без оговорок. Нулевой вектор даёт ноль в произведении с любым вектором, но не имеет определённого направления. Перед применением критерия проверьте, что оба вектора ненулевые.

При раскрытии произведения суммы часто теряют один перекрёстный член. Полная запись содержит a·b и b·a, а затем они объединяются в 2a·b благодаря переместительному свойству. Чтобы не ошибиться, сначала выпишите все четыре произведения, не сокращая выражение устно.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны длина вектора, угол между векторами, сложение векторов и умножение вектора на число. Эти понятия объясняют все элементы формулы и правила преобразований. Без них трудно понять, почему меняются длина и направление.

Скалярное произведение применяют для проверки перпендикулярности, вычисления углов и длин векторов. В координатах оно превращается в удобную сумму произведений соответствующих координат. Поэтому тема связывает геометрию с алгебраическими вычислениями.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• a·b = b·a.
• Скалярное произведение распределяется относительно сложения.
• Множитель можно вынести за знак скалярного произведения.
• a·a = |a|² ≥ 0.
• Для ненулевых векторов a·b = 0 тогда и только тогда, когда они перпендикулярны.