23.1. Определение скалярного произведения векторов

Определения и обозначения

Угол между ненулевыми векторами — это угол α, который получают, если перенести векторы так, чтобы их начала совпали. Он измеряется между лучами, направленными вдоль векторов, и лежит в пределах 0 ≤ α ≤ π. Такое ограничение позволяет однозначно выбирать меньший угол между направлениями.

Скалярным произведением векторов a и b называют число a · b = |a| · |b| · cos α, где |a| и |b| — длины векторов, а α — угол между ними. В отличие от сложения или умножения числа на вектор результатом здесь является скаляр, то есть обычное число. Эта величина связывает размеры векторов с тем, насколько совпадают их направления.

Ортогональные векторы — это ненулевые векторы, образующие прямой угол. Их скалярное произведение равно нулю, потому что cos 90° = 0. Поэтому равенство a · b = 0 служит способом проверить перпендикулярность векторов.

Как это устроено

Перенос вектора параллельно самому себе не меняет ни его длину, ни направление. Поэтому можно перенести оба вектора так, чтобы их начала совпали, и рассматривать угол между получившимися лучами. Такой угол описывает взаимное направление исходных векторов и не зависит от места, где они были расположены.

В формуле a · b = |a| · |b| · cos α каждый множитель выполняет свою роль. Длины |a| и |b| задают масштаб результата: при увеличении одного вектора в несколько раз произведение увеличивается во столько же раз. Косинус α учитывает направление и показывает, какая часть одного направления согласована с другим.

Знак произведения определяется косинусом. Для острого угла косинус положителен, поэтому a · b > 0; для прямого он равен нулю, поэтому произведение равно нулю. При тупом угле косинус отрицателен, и скалярное произведение становится отрицательным.

Если векторы сонаправлены, α = 0 и cos 0 = 1, значит, a · b = |a| · |b|. Если они направлены противоположно, α = π и cos π = −1, поэтому a · b = −|a| · |b|. Эти случаи показывают, что знак и величина произведения точно отражают согласованность направлений.

Когда известны скалярное произведение и длины ненулевых векторов, формулу можно преобразовать: cos α = (a · b) / (|a| · |b|). Затем по таблице или на калькуляторе находят угол α, выбирая его в промежутке от 0 до π. Перед вычислением полезно проверить, что полученное значение косинуса находится от −1 до 1.

Скалярное произведение в зависимости от угла между векторами

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите знак скалярного произведения или значение косинуса. Затем сопоставьте его с видом угла и сделайте вывод о направлениях векторов. Для ненулевых векторов нулевое произведение однозначно указывает на прямой угол.

Разбор задач

Задача 1

Длины векторов равны 3 и 5, а угол между ними равен 60°. Требуется найти скалярное произведение. Из условия известны все величины, входящие в определение, поэтому достаточно подставить их в формулу.

1. Записываем формулу: a · b = |a| · |b| · cos α.
2. Подставляем данные: a · b = 3 · 5 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получаем 15 · ½ = 7,5.

Ответ: 7,5. Результат положителен, что согласуется с острым углом между векторами.

Задача 2

Скалярное произведение равно −12, длины векторов равны 3 и 8. Нужно определить вид угла. Сначала можно найти знак косинуса, не вычисляя сам угол полностью.

1. По формуле cos α = (a · b) / (|a| · |b|).
2. Подставляем значения: cos α = −12 / (3 · 8) = −12 / 24 = −½.
3. Косинус отрицателен, а значит, угол α является тупым.

Ответ: тупой угол. Отрицательный знак произведения здесь не случаен: он показывает, что направления векторов в значительной мере противоположны.

Задача 3

Известно, что a · b = 6, |a| = 2, а угол между векторами равен 60°. Требуется найти длину второго вектора |b|. Неизвестную длину обозначим буквой x и составим равенство по определению.

1. Записываем: 6 = 2 · x · cos 60°.
2. Заменяем косинус его значением: 6 = 2 · x · ½ = x.
3. Следовательно, x = 6.

Ответ: длина второго вектора равна 6. Проверка даёт 2 · 6 · ½ = 6, поэтому найденное значение удовлетворяет условию.

Типичные ошибки

Иногда скалярное произведение заменяют простым произведением длин |a| · |b|. Ошибка возникает из-за невнимания к углу между векторами, но без множителя cos α результат обычно неверен. Проверьте себя: в формуле обязательно должны присутствовать длины и косинус.

Нулевое произведение ошибочно связывают только с нулевым вектором. Для двух ненулевых векторов оно означает cos α = 0, то есть прямой угол. Если в условии сказано, что векторы ортогональны, сразу ожидайте произведение, равное нулю.

При тупом угле иногда записывают положительный результат. Причина ошибки — забытый знак косинуса: для угла от π/2 до π он отрицателен. Перед вычислениями определите вид угла и заранее проверьте ожидаемый знак ответа.

Ещё одна ошибка — брать угол между векторами, не совмещая их начала, или выбирать угол больше π. Перенесите векторы параллельно так, чтобы начала совпали, и измеряйте угол между направленными лучами. Получившееся значение должно лежать от 0 до π.

Связь с другими темами

Для понимания определения нужны длина вектора, понятие угла и значения косинуса на отрезке от 0 до π. Эти знания позволяют не просто подставлять числа, а объяснять знак результата.

Определение станет основой координатной формулы скалярного произведения. С её помощью можно вычислять углы между векторами, даже если угол непосредственно не задан.

Связь с ортогональностью используется в задачах на перпендикулярность прямых и векторов. Условие нулевого скалярного произведения часто превращает геометрическое утверждение в удобное вычисление.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.
• Угол между ненулевыми векторами принимают от 0 до π.
• При остром угле скалярное произведение положительно.
• При прямом угле скалярное произведение равно нулю.
• При тупом угле скалярное произведение отрицательно.
• У сонаправленных векторов скалярное произведение равно произведению их длин.