§ 23. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: a · b = |a||b| cos φ. Здесь |a| и |b| — длины векторов, а φ — угол между ними. По знаку результата можно судить о взаимном направлении векторов.

Угол между векторами — угол от 0° до 180° между сонаправленными с ними векторами, отложенными из одной точки. Сонаправленные векторы имеют одинаковые направления, хотя их длины могут различаться. Такое определение позволяет сравнивать направления векторов, даже если они заданы в разных местах чертежа.

Ортогональные векторы — ненулевые векторы, угол между которыми равен 90°. Для них cos 90° = 0, поэтому их скалярное произведение равно нулю. Это понятие нужно, чтобы проверять перпендикулярность с помощью вычислений, не строя прямой угол на чертеже.

Координатная формула скалярного произведения позволяет вычислить его по координатам векторов. На плоскости для a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂) это x₁x₂ + y₁y₂, а в пространстве к сумме добавляется произведение третьих координат: z₁z₂. Формула удобна, когда известны координаты, но не заданы угол или длины.

Как это устроено

Формула a · b = |a||b| cos φ соединяет две характеристики векторов: их длины и взаимное направление. Если угол острый, cos φ положителен, поэтому скалярное произведение положительно; при тупом угле косинус отрицателен. При прямом угле косинус равен нулю, и длины уже не влияют на результат. Так косинус учитывает, насколько направления векторов совпадают или противоположны.

Выведем координатную формулу на плоскости. Пусть i и j — перпендикулярные единичные векторы вдоль координатных осей; тогда a = x₁i + y₁j, b = x₂i + y₂j. При раскрытии произведения смешанные слагаемые равны нулю, потому что i · j = 0, а i · i = j · j = 1. Поэтому остаётся a · b = x₁x₂ + y₁y₂; в пространстве добавляется слагаемое z₁z₂.

Скалярное произведение переместительно: a · b = b · a, потому что угол и произведение длин не зависят от порядка векторов. Оно распределительно относительно сложения: (a + b) · c = a · c + b · c; это видно при раскрытии координатной формулы. Числовой множитель можно вынести: (ka) · b = k(a · b), поскольку каждая координата a умножается на k. Эти свойства позволяют преобразовывать выражения и считать удобными частями.

Если подставить один и тот же вектор дважды, угол между ним и самим собой равен 0°, а cos 0° = 1. Поэтому a · a = |a||a| = |a|², и отсюда длину можно найти как |a| = √(a · a). Для ненулевых векторов из исходной формулы получается cos φ = (a · b) / (|a||b|). Значит, координаты дают произведение и длины, а затем — угол.

Для ненулевых векторов длины |a| и |b| положительны. Поэтому в формуле a · b = |a||b| cos φ произведение равно нулю именно тогда, когда cos φ = 0, то есть φ = 90°. Это доказывает критерий: ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Условие о ненулевых векторах существенно: угол с нулевым вектором не определён.

Скалярное произведение: определение, свойства и применение

Сначала выберите строку по тому, что дано в задаче: угол и длины или координаты. Затем используйте результат для нужной цели — например, для проверки перпендикулярности или нахождения угла. При вычислении длины помните, что a · a даёт квадрат длины, а не саму длину.

Разбор задач

Задача 1. Даны длины векторов |a| = 5, |b| = 4 и угол φ = 60°. Найти a · b.

1. Угол и длины уже известны, поэтому выбираем геометрическое определение, а не координатную формулу. Записываем a · b = |a||b| cos φ. Так мы учитываем и размеры векторов, и их направления.

2. Подставляем данные: a · b = 5 · 4 · cos 60°. Поскольку cos 60° = ½, получаем 20 · ½ = 10. Положительный результат согласуется с тем, что угол острый.

3. Проверяем, что использованы обе длины и косинус именно заданного угла. Если бы угол был тупым, результат оказался бы отрицательным. Ответ: 10.

Задача 2. Найти скалярное произведение a = (2, −1, 3) и b = (4, 5, −2).

1. Координаты заданы в пространстве, поэтому используем формулу x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. В ней сопоставляются координаты, стоящие на одинаковых местах. Это избавляет от необходимости сначала искать длины и угол.

2. Перемножаем соответствующие компоненты: 2 · 4 = 8, (−1) · 5 = −5, 3 · (−2) = −6. Складываем результаты: 8 − 5 − 6 = −3. Знаки координат сохраняются при умножении.

3. Проверяем, что учтены все три пары координат и их произведения сложены. Отрицательное значение возможно и у скалярного произведения, а само по себе не означает ошибку. Ответ: −3.

Задача 3. Даны ненулевые векторы a = (1, 2), b = (2, −1). Определить, перпендикулярны ли они; если нет, найти угол.

1. Сначала проверяем критерий перпендикулярности по координатам. Получаем a · b = 1 · 2 + 2 · (−1) = 2 − 2 = 0. Поскольку оба вектора ненулевые, они перпендикулярны, и их угол равен 90°.

2. Для проверки можно также убедиться, что длины не равны нулю: |a| = √(1² + 2²) = √5, |b| = √(2² + (−1)²) = √5. Значит, условие критерия применимо. Нулевое произведение подтверждает прямой угол.

3. В этой задаче искать угол через арккосинус не требуется: критерий сразу даёт ответ. Если бы скалярное произведение оказалось ненулевым, следовало бы вычислить cos φ = (a · b) / (|a||b|) и определить угол по косинусу. Ответ: векторы перпендикулярны, угол равен 90°.

Типичные ошибки

Путать скалярное произведение с векторным. Иногда название подталкивает думать, что результатом будет новый вектор, но здесь результат — число. Ошибку допускают, смешивая две разные операции над векторами. Проверьте себя: в ответе должно быть числовое значение, например 6 или −2, а не координаты нового вектора.

Неверно перемножать координаты или не складывать произведения. В формуле перемножают первые координаты между собой, вторые — между собой, а в пространстве ещё и третьи, после чего складывают результаты. Ошибка часто возникает из-за пропуска компоненты или перемножения координат, стоящих на разных местах. Для проверки выпишите пары столбиком и убедитесь, что число слагаемых совпадает с размерностью пространства.

Забывать делить на произведение длин при нахождении угла. Формула для косинуса имеет вид cos φ = (a · b) / (|a||b|), а не просто cos φ = a · b. Путают её с исходной формулой, где скалярное произведение выражают через косинус. Подставьте результат обратно в a · b = |a||b| cos φ: равенство должно выполняться.

Считать, что нулевое произведение возможно только при нулевом векторе. У двух ненулевых векторов оно равно нулю, когда они перпендикулярны. Заблуждение появляется, если переносить на скалярное произведение правило об умножении обычных чисел. Проверьте длины векторов и угол: при ненулевых длинах и угле 90° произведение действительно равно нулю.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны координаты вектора и умение находить его длину по координатам. Также пригодятся сложение векторов и знания об углах и косинусах. Эти темы позволяют перейти от геометрического определения к вычислениям и обратно. Поэтому скалярное произведение объединяет координатный и геометрический способы решения задач.

Дальше этот инструмент помогает находить углы между векторами и проверять перпендикулярность. В координатных задачах часто проще вычислить сумму произведений компонент, чем строить чертёж и измерять угол. Свойство a · a = |a|² связывает произведение с длиной вектора. Так один способ вычислений применяется для решения разных геометрических задач.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• a · b = |a||b| cos φ.
• В координатах произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
• a · a = |a|².
• Для ненулевых векторов перпендикулярность равносильна нулевому скалярному произведению.
• Скалярное произведение переместительно и распределительно относительно сложения.